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リー群・リー環の問題

難易度 3大学院入試の専門科目の標準レベル大学院数学リー群・リー環

$R^{4}$ に標準内積 $(,)$ を入れ、標準基底を $e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}$ とする。 $F_{4}$ 型のルート系 $Φ = {\pm e_{i} (1 \leq i \leq 4)} \cup {\pm e_{i} \pm e_{j} (1 \leq i < j \leq 4)} \cup {\frac{1}{2} (\pm e_{1} \pm e_{2} \pm e_{3} \pm e_{4})}$ （複号は任意）を考え、 $W$ を $Φ$ のワイル群（鏡映 $s_{α} (x) = x - \frac{2 ( x , α )}{( α , α )} α$ $(α \in Φ)$ で生成される $G L (4, R)$ の部分群）とする。 $v = e_{1} + e_{2}$ に対し、固定部分群 $W_{v} = {w \in W ∣ w v = v}$ の位数を求めよ。

この問題で使うもの

ルート系と鏡映（説明と入口の問題）
ワイル群の位数と軌道（説明と入口の問題）

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算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

ワイル群の元のうち $v$ を固定するものは、 $v$ に直交するルートの鏡映で生成される（Chevalley の定理）。まず $v$ に直交するルートをすべて書き出そう。

ヒント 2

$v = e_{1} + e_{2}$ に直交するルートは、 $\pm e_{3}, \pm e_{4}$ 、 $\pm e_{3} \pm e_{4}$ 、 $\pm (e_{1} - e_{2})$ 、そして $\frac{1}{2} (ε_{1} e_{1} + ε_{2} e_{2} + ε_{3} e_{3} + ε_{4} e_{4})$ で $ε_{2} = - ε_{1}$ のもの。

ヒント 3

直交するルートは全部で $18$ 個、長さで分けると短いもの $12$ 個・長いもの $6$ 個で、階数 $3$ のルート系になる。階数 $3$ でこの個数をもつルート系の型を特定し、そのワイル群の位数を求めよう。

答えと解説

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48

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解説を読む

方針. ワイル群について次の定理（Chevalley の定理）が成り立つ: ベクトル $v$ の固定部分群 $W_{v}$ は、 $v$ に直交するルート $α$ による鏡映 $s_{α}$ で生成され、 $Φ_{v} = {α \in Φ ∣ (α, v) = 0}$ はルート系をなし、 $W_{v}$ はそのワイル群に一致する。そこで $Φ_{v}$ を求める。

$v$ に直交するルート. $v = e_{1} + e_{2}$ との内積が $0$ になるものを種類ごとに数える。
- $\pm e_{i}$ : $(\pm e_{i}, v) = 0 ⟺ i = 3, 4$ 。 $\pm e_{3}, \pm e_{4}$ の $4$ 個（長さ $1$ ）。
- $\pm e_{i} \pm e_{j}$ : ${i, j} = {3, 4}$ のとき $\pm e_{3} \pm e_{4}$ の $4$ 個、 ${i, j} = {1, 2}$ のとき $\pm (e_{1} - e_{2})$ の $2$ 個。 ${i, j}$ が ${1, 2}$ と ${3, 4}$ に $1$ つずつまたがる場合は内積 $\pm 1$ で不適。計 $6$ 個（長さ $2$ ）。
- $\frac{1}{2} (ε_{1} e_{1} + ε_{2} e_{2} + ε_{3} e_{3} + ε_{4} e_{4})$ : 内積は $\frac{1}{2} (ε_{1} + ε_{2})$ なので $ε_{2} = - ε_{1}$ 。 $ε_{1}, ε_{3}, ε_{4}$ が自由で $8$ 個（長さ $1$ ）。

よって $∣ Φ_{v} ∣ = 4 + 6 + 8 = 18$ で、短いルート $12$ 個、長いルート $6$ 個からなる。

ルート系の型. $Φ_{v}$ は $v^{⊥}$ （ $3$ 次元）の中のルート系で、例えば $e_{3}, e_{4}, \frac{1}{2} (e_{1} - e_{2} + e_{3} + e_{4})$ は $Φ_{v}$ に属し 1 次独立なので階数は $3$ 。階数 $3$ の（既約とは限らない）ルート系のルートの個数は $A_{3} : 12$ , $B_{3} : 18$ , $C_{3} : 18$ , $A_{1} \times A_{1} \times A_{1} : 6$ , $A_{1} \times A_{2} : 8$ , $A_{1} \times B_{2} : 10$ , $A_{1} \times G_{2} : 14$ であり、 $18$ 個となるのは $B_{3}$ か $C_{3}$ 。長いルートが $6$ 個、短いルートが $12$ 個なので $C_{3}$ 型である（ $B_{3}$ は長いルート $12$ 個、短いルート $6$ 個）。

位数. $C_{3}$ 型のワイル群は符号付き置換の群で、位数は $2^{3} \cdot 3! = 48$ 。したがって $∣ W_{v} ∣ = 48.$

検算. $∣ W (F_{4}) ∣ = 1152$ である。 $v = e_{1} + e_{2}$ は長いルートで、 $W$ は同じ長さのルート全体に推移的に作用し、長いルート $\pm e_{i} \pm e_{j}$ は $24$ 個あるので、軌道・固定群の関係から $∣ W_{v} ∣ = 1152/24 = 48$ となり一致する。

別解

有限鏡映群 $W$ において、点 $v$ の固定部分群 $W_{v}$ は、 $v$ に直交するルート（すなわち $s_{α} v = v$ となる鏡映の $α$ ）が生成する鏡映群である（Steinberg の定理）。したがって $Φ_{v} = {α \in Φ ∣ (α, v) = 0}$ を求め、そのワイル群の位数を数えればよい。

$v = e_{1} + e_{2}$ に直交するルートを分類する。
- $\pm e_{i}$ : $\pm e_{3}, \pm e_{4}$ （4 個、短いルート）
- $\pm e_{i} \pm e_{j}$ : $(α, v) = 0$ となるのは $\pm (e_{1} - e_{2})$ と $\pm e_{3} \pm e_{4}$ （ $2 + 4 = 6$ 個、長いルート）
- $\frac{1}{2} (\pm e_{1} \pm e_{2} \pm e_{3} \pm e_{4})$ : $(α, v) = \frac{1}{2} (s_{1} + s_{2}) = 0$ より $s_{2} = - s_{1}$ 。符号の選び方は $s_{1}$ 、 $s_{3}$ 、 $s_{4}$ の $2^{3} = 8$ 個（短いルート）

合計 $4 + 6 + 8 = 18$ 個で、長いルート 6 個、短いルート 12 個。これは階数 3 の既約ルート系で、ルート数 18、長いルート 6 個、短いルート 12 個という条件は $C_{3}$ 型に一致する（ $B_{3}$ なら長いルート 12 個、短いルート 6 個）。

よって $W_{v}$ は $C_{3}$ 型ワイル群で、位数は $2^{3} \cdot 3! = 48$ 。

検算: $v = e_{1} + e_{2}$ は長いルート（長さ $^{2}$ が 2）で、 $F_{4}$ の長いルートは 24 個。 $W$ は長いルート全体に推移的に作用し、 $∣ W (F_{4}) ∣ = 1152$ なので、軌道・固定群の関係から $∣ W_{v} ∣ = 1152/24 = 48$ 。一致する。

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