リー群・リー環の問題

方針. ワイル群の長さの母関数（ポアンカレ多項式）$P_W(q)={\sum }_{w\in W}{q}^{\ell (w)}$ を求め、$q^4$ の係数を読む。

ポアンカレ多項式. 有限鏡映群 $W$ に対し、$W$ 不変多項式環が次数 $d_1,\dots ,d_r$ の代数的に独立な斉次多項式で生成されるとき（シュヴァレーの定理）、
$$P_W(q)=\prod _{i=1}^r\frac{1-q^{d_i}}{1-q}=\prod _{i=1}^r(1+q+\cdots +q^{d_i-1})$$
が成り立つ（ソロモンの定理）。

$B_3$ のワイル群 $W$ は座標の置換と符号の反転全体（符号付き置換群、位数 $2^3\cdot 3!=48$）であり、実際 $s_1,s_2$ は座標の互換 $(12),(23)$、$s_3$ は第 $3$ 座標の符号反転である。その不変式環は
$$x_1^2+x_2^2+x_3^2,x_1^4+x_2^4+x_3^4,x_1^6+x_2^6+x_3^6$$
で生成される（符号反転で不変なので $x_i^2$ の多項式であり、置換で不変なので $x_i^2$ の対称式、すなわち $x_i^2$ のべき和で生成される）。よって次数は $2,4,6$ で
$$P_W(q)=(1+q)(1+q+q^2+q^3)(1+q+q^2+q^3+q^4+q^5).$$

計算. まず
$$(1+q)(1+q+q^2+q^3)=1+2q+2q^2+2q^3+q^4$$
で、係数を $a_0,\dots ,a_4=1,2,2,2,1$ とおく。これに $1+q+\cdots +q^5$ を掛けると、$q^k$ の係数は ${\sum }_{k-5\le j\le k}{a}_j$ となる。$k=4$ では $j=0,1,2,3,4$ がすべて入るので
$$1+2+2+2+1=8.$$

（検算：全係数は $1,3,5,7,8,8,7,5,3,1$ で和は $48=|W|$。また長さ $2$ の元は $s_1{s}_2,s_2{s}_1,s_2{s}_3,s_3{s}_2,s_1{s}_3$ の $5$ 個で係数と一致する。）

よって求める個数は $8$ である。

$B_3$ 型ワイル群の位数は $2^3\cdot 3!=48$ である。長さ関数に関するポアンカレ多項式は、次数 $2,4,6$ を用いて
$$\sum _{w\in W}{q}^{\ell (w)}=\frac{(1-q^2)(1-q^4)(1-q^6)}{(1-q{)}^3}=(1+q)(1+q+q^2+q^3)(1+q+q^2+q^3+q^4+q^5)$$
と書ける。

まず $(1+q)(1+q+q^2+q^3)=1+2q+2q^2+2q^3+q^4$ である。これに $1+q+\cdots +q^5$ を掛けると、$q^k$ の係数は次のようになる。

$k=0,1,\dots ,9$ の係数は順に $1,3,5,7,8,8,7,5,3,1$ である。

係数の総和は $1+3+5+7+8+8+7+5+3+1=48$ で、群の位数と一致する。したがって $q^4$ の係数は $8$ であり、$\ell (w)=4$ をみたす $w$ は 8 個である。