リー群・リー環の問題

${\mathbb{R}}^4$ に標準内積 $(,)$ を入れ、$e_1,e_2,e_3,e_4$ を標準基底とする。ルート系
$$\Phi =\{\pm e_i\pm e_j\mid 1\le i<j\le 4\}(\text{複号任意})$$
を考え、$W$ を鏡映 $s_{\alpha }(x)=x-\frac{2(x,\alpha )}{(\alpha ,\alpha )}\alpha (\alpha \in \Phi )$ で生成される $GL(4,\mathbb{R})$ の部分群（$\Phi$ のワイル群）とする。ベクトル $v=(2,1,1,0)$ の $W$-軌道
$$Wv=\{w(v)\mid w\in W\}$$
の元の個数を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ に標準内積 $(,)$ を入れ、標準基底を $e_1,e_2,e_3$ とする。$C_3$ 型のルート系
$$\Phi =\{\pm e_i\pm e_j\mid 1\le i<j\le 3\}\cup \{\pm 2e_i\mid 1\le i\le 3\}$$
のルート $\alpha =e_1+e_3$ に関する鏡映を
$$s_{\alpha }(x)=x-\frac{2(x,\alpha )}{(\alpha ,\alpha )}\alpha$$
とする。ベクトル $x=2e_1-e_2+4e_3$ に対して、$s_{\alpha }(x)$ を成分で表したもの $(a,b,c)$（$s_{\alpha }(x)=a{e}_1+b{e}_2+c{e}_3$）を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ に標準内積 $(,)$ を入れ、標準基底を $e_1,e_2,e_3$ とする。$B_3$ 型のルート系
$$\Phi =\{\pm e_i\mid 1\le i\le 3\}\cup \{\pm e_i\pm e_j\mid 1\le i<j\le 3\}$$
の単純ルートを ${\alpha }_1=e_1-e_2,{\alpha }_2=e_2-e_3,{\alpha }_3=e_3$ とする。${\alpha }_i$ に関する鏡映 $s_i(x)=x-\frac{2(x,{\alpha }_i)}{({\alpha }_i,{\alpha }_i)}{\alpha }_i$ $(i=1,2,3)$ が生成するワイル群を $W$ とし、$w\in W$ の長さ $\ell (w)$ を、$w$ を $s_1,s_2,s_3$ の積として表すときに必要な因子の個数の最小値と定める（単位元の長さは $0$）。

$\ell (w)=4$ をみたす $w\in W$ の個数を求めよ。

${\mathbb{R}}^4$ に標準内積 $(,)$ を入れ、標準基底を $e_1,e_2,e_3,e_4$ とする。$F_4$ 型のルート系 $$\Phi =\{\pm e_i(1\le i\le 4)\}\cup \{\pm e_i\pm e_j(1\le i<j\le 4)\}\cup \left\{\frac{1}{2}(\pm e_1\pm e_2\pm e_3\pm e_4)\right\}$$ （複号は任意）を考え、$W$ を $\Phi$ のワイル群（鏡映 $s_{\alpha }(x)=x-\frac{2(x,\alpha )}{(\alpha ,\alpha )}\alpha$ $(\alpha \in \Phi )$ で生成される $GL(4,\mathbb{R})$ の部分群）とする。$v=e_1+e_2$ に対し、固定部分群 $$W_v=\{w\in W\mid wv=v\}$$ の位数を求めよ。

${\mathbb{R}}^6$ に標準内積 $(,)$ を入れ、標準基底を $e_1,\dots ,e_6$ とする。$B_6$ 型のルート系
$$\Phi =\{\pm e_i\mid 1\le i\le 6\}\cup \{\pm e_i\pm e_j\mid 1\le i<j\le 6\}(\text{複号任意})$$
と、ベクトル
$$\lambda =\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{2}{3},0\right)\in {\mathbb{R}}^6$$
を考える。
$${\Phi }_{\lambda }=\{\alpha \in \Phi \mid (\lambda ,\alpha )\in \mathbb{Z}\}$$
とおき、$W_{\lambda }$ を鏡映 $s_{\alpha }(x)=x-\frac{2(x,\alpha )}{(\alpha ,\alpha )}\alpha$（$\alpha \in {\Phi }_{\lambda }$）全体で生成される直交群 $O(6)$ の部分群とする。$W_{\lambda }$ の位数 $|W_{\lambda }|$ を求めよ。