リー群・リー環の問題

難易度 2大学院の講義の演習問題レベル証明問題大学院数学リー群・リー環

$n$ を正の整数とする。 $X \in M_{n} (C)$ に対し $X^{*} = X^{T}$ （随伴行列）とし、ユニタリ群を
$U (n) = {g \in G L_{n} (C) ∣ g^{*} g = I}$
とする。 $U (n)$ は $G L_{n} (C)$ の閉部分群であり（これは用いてよい）、そのリー環を
$u (n) = {X \in M_{n} (C) ∣ すべての t \in R に対して exp (tX) \in U (n)}$
で定める。このとき $u (n)$ は $M_{n} (C)$ の実線形部分空間であり、実ベクトル空間としての次元が $dim_{R} u (n) = n^{2}$ であることを証明せよ。

ただし、実数 $t$ に対して $exp (tX)^{*} = exp (t X^{*})$ 、 $\frac{d}{d t} exp (tX) = X exp (tX) = exp (tX) X$ 、 $exp (tX)$ が正則であることは用いてよい。

この問題で使うもの

行列リー群のリー環（説明と入口の問題）
古典群の次元（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（88 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

まず $u (n)$ を線形な条件 $X^{*} + X = O$ で特徴づけ、その後その空間の実基底を具体的に書いて数える方針をとろう。

ヒント 2

$f (t) = exp (t X^{*}) exp (tX)$ を微分すると $f^{'} (t) = exp (t X^{*}) (X^{*} + X) exp (tX)$ となる。

ヒント 3

条件 $X^{*} + X = O$ を成分で書くと、対角成分は純虚数、 $k < l$ の成分 $x_{k l}$ は自由な複素数で $x_{l k}$ はそれで決まる。 $i E_{k k}$ , $E_{k l} - E_{l k}$ , $i (E_{k l} + E_{l k})$ を候補の基底として考える。

採点の観点と模範解答

自分で証明を書いてから、採点の観点で見比べてください。

採点の観点を見る

$f (t) = exp (t X^{*}) exp (tX)$ の $t = 0$ での微分から、 $X \in u (n)$ ならば $X^{*} + X = O$ を導いている（2 点）
逆に $X^{*} + X = O$ ならば $f^{'} \equiv O$ から $f (t) = I$ を示して $exp (tX) \in U (n)$ を結論し、 $u (n)$ が実線形部分空間であることを述べている（3 点）
条件を成分で書き、対角成分が純虚数・上三角部分が自由・下三角部分が上三角部分で決まることを正しく述べている（2 点）
$i E_{k k}$ , $E_{k l} - E_{l k}$ , $i (E_{k l} + E_{l k})$ などの具体的な実基底を挙げ、生成と一次独立の両方を確かめて次元 $n + n (n - 1) = n^{2}$ を得ている（3 点）

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

模範解答を読む

段階 1： $u (n) = h$ 、ただし $h = {X \in M_{n} (C) ∣ X^{*} + X = O}$ （歪エルミート行列全体）。

$X$ を固定し、 $f (t) = exp (tX)^{*} exp (tX) = exp (t X^{*}) exp (tX)$ （ $t \in R$ ）とおく。積の微分より
$f^{'} (t) = exp (t X^{*}) X^{*} exp (tX) + exp (t X^{*}) X exp (tX) = exp (t X^{*}) (X^{*} + X) exp (tX) .$

( $\subset$ ) $X \in u (n)$ なら、すべての $t$ で $f (t) = I$ なので $f^{'} (0) = O$ 。 $exp (O) = I$ より $f^{'} (0) = X^{*} + X$ だから $X^{*} + X = O$ 。

( $\supset$ ) $X \in h$ なら、すべての $t$ で $f^{'} (t) = O$ なので、 $f$ は定数で $f (t) = f (0) = I$ 。 $exp (tX)$ は正則なので $exp (tX) \in U (n)$ 。よって $X \in u (n)$ 。

写像 $X \mapsto X^{*} + X$ は $R$ 線形（実数 $a$ に対し $(a X)^{*} = a X^{*}$ ）なので、その核 $h = u (n)$ は $M_{n} (C)$ の実線形部分空間である。（ $(i X)^{*} = - i X^{*}$ なので複素線形部分空間ではないことに注意。）

段階 2：成分による言い換え. $X = (x_{k l})$ とすると $X^{*}$ の $(k, l)$ 成分は $x_{l k}$ なので、
$X \in h ⟺ すべての k, l に対し x_{k l} = - x_{l k} .$
これは次の 2 条件と同値である。
- (a) 対角成分： $x_{k k} = - x_{k k}$ 、すなわち $x_{k k}$ は純虚数（ $Re x_{k k} = 0$ ）。
- (b) $k < l$ のとき $x_{l k} = - x_{k l}$ （ $k > l$ の条件は $k < l$ の条件の共役をとったものと同じなので、 $k < l$ だけ課せばよい）。

段階 3：基底の構成. $E_{k l}$ を $(k, l)$ 成分だけ $1$ の行列とし、
$A_{k} = i E_{k k} (1 \leq k \leq n), B_{k l} = E_{k l} - E_{l k}, C_{k l} = i (E_{k l} + E_{l k}) (1 \leq k < l \leq n)$
とおく。 $A_{k}^{*} = - i E_{k k} = - A_{k}$ 、 $B_{k l}^{*} = E_{l k} - E_{k l} = - B_{k l}$ 、 $C_{k l}^{*} = - i (E_{l k} + E_{k l}) = - C_{k l}$ なので、これらは $h$ に属する。

（生成） $X \in h$ とする。(a) より $x_{k k} = i β_{k}$ （ $β_{k} \in R$ ）、 $k < l$ に対し $x_{k l} = p_{k l} + i q_{k l}$ （ $p_{k l}, q_{k l} \in R$ ）と書くと、(b) より $x_{l k} = - p_{k l} + i q_{k l}$ 。よって
$X = k \sum β_{k} A_{k} + k < l \sum (p_{k l} B_{k l} + q_{k l} C_{k l})$
（右辺の $(k, l)$ 成分は $p_{k l} + i q_{k l}$ 、 $(l, k)$ 成分は $- p_{k l} + i q_{k l}$ 、 $(k, k)$ 成分は $i β_{k}$ となり一致する）。

（一次独立）実数 $β_{k}, p_{k l}, q_{k l}$ に対し上の右辺が $O$ とすると、 $(k, k)$ 成分から $i β_{k} = 0$ 、 $k < l$ の $(k, l)$ 成分から $p_{k l} + i q_{k l} = 0$ で、 $p_{k l}, q_{k l}$ は実数なので $p_{k l} = q_{k l} = 0$ 。よってすべての係数が $0$ 。

したがって ${A_{k}} \cup {B_{k l}, C_{k l}}_{k < l}$ は $h$ の実基底であり、その個数は
$n + 2 \cdot \frac{n ( n - 1 )}{2} = n + n^{2} - n = n^{2} .$

結論. $u (n) = h$ は $M_{n} (C)$ の実線形部分空間で、 $dim_{R} u (n) = n^{2}$ である。

この問題の確認

AI が作成した問題です。公開前に次の確認を行いました。

別の AI が模範解答を見ずに 3 回証明を試み、3 回証明できました
2 つの AI が独立に、模範解答の証明を 1 ステップずつ確かめました
AI の査読で、条件・解説・表記を確認しました
答えの正しさについて慎重に扱うべき点が見つからなかったため、自動で公開しました

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