リー群・リー環の問題

リー環の決定. 閉部分群 $G\subset GL(n,\mathbb{R})$ のリー環は $$\mathfrak{g}=\{X\in \mathfrak{gl}(n,\mathbb{R})\mid \text{すべての }t\in \mathbb{R}\text{ について }{e}^{tX}\in G\}$$ であり、$\dim G=\dim \mathfrak{g}$ である。

$e^{tX}\in G$ がすべての $t$ で成り立つとき、$(e^{tX}{)}^{\mathsf{T}}S{e}^{tX}=S$ を $t=0$ で微分して $$X^{\mathsf{T}}S+SX=O(1)$$ を得る。逆に $(1)$ が成り立てば $X^{\mathsf{T}}S=S(-X)$ から帰納的に $(X^{\mathsf{T}}{)}^{m}S=S(-X{)}^m$ となり、$e^{t{X}^{\mathsf{T}}}S=S{e}^{-tX}$、すなわち $(e^{tX}{)}^{\mathsf{T}}S{e}^{tX}=S$ である。よって $\mathfrak{g}=\{X\mid X^{\mathsf{T}}S+SX=O\}$。

方程式を解く. $m=p+q$、$S_0=\mathrm{diag}(I_p,-I_q)$（$m$ 次）とおき、$X$ を $m+k$ に分けて $$X=\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right)(A:m\times m,B:m\times k,C:k\times m,D:k\times k)$$ と書く。$S=\left(\begin{array}{cc}{S}_0& O\\ O& O\end{array}\right)$ だから $$SX=\left(\begin{array}{cc}{S}_{0}A& S_{0}B\\ O& O\end{array}\right),X^{\mathsf{T}}S=(SX{)}^{\mathsf{T}}=\left(\begin{array}{cc}{A}^{\mathsf{T}}{S}_0& O\\ B^{\mathsf{T}}{S}_0& O\end{array}\right).$$ したがって $(1)$ は $$A^{\mathsf{T}}{S}_0+S_{0}A=O,S_{0}B=O,B^{\mathsf{T}}{S}_0=O$$ と同値である。$S_0$ は正則なので $B=O$。第 1 式は $A\in \mathfrak{o}(p,q)$ を意味する。$C,D$ には条件がない。

$\mathfrak{o}(p,q)$ の次元: $A^{\mathsf{T}}{S}_0+S_{0}A=O$ は $(S_{0}A{)}^{\mathsf{T}}=-S_{0}A$（$S_0^{\mathsf{T}}=S_0$ を使った）と同値で、$A\mapsto S_{0}A$ は線形同型なので、$\mathfrak{o}(p,q)$ は $m$ 次交代行列の空間と同じ次元 $\frac{m(m-1)}{2}$ をもつ。

次元. 以上より $$\dim G=\dim \mathfrak{g}=\frac{m(m-1)}{2}+km+k^2=\frac{(p+q)(p+q-1)}{2}+k(p+q)+k^2.$$

（確認: $p=1,q=0,k=1$ のとき $g=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ について $g^{\mathsf{T}}Sg=\left(\begin{array}{cc}{a}^2& ab\\ ab& b^2\end{array}\right)=\mathrm{diag}(1,0)$ から $a=\pm 1,b=0$ で $c,d(d\ne 0)$ は自由なので次元 $2$。公式も $0+1+1=2$ を与える。）

$m=p+q$ とおき、$g$ をブロック分解して $g=\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right)$ と書く（$A$ は $m\times m$、$D$ は $k\times k$、$B$ は $m\times k$、$C$ は $k\times m$）。また $S_0=\mathrm{diag}(I_p,-I_q)$ とおくと $S=\left(\begin{array}{cc}{S}_0& O\\ O& O_k\end{array}\right)$ である。

$g^{\mathsf{T}}Sg$ を計算する。
$$g^{\mathsf{T}}S=\left(\begin{array}{cc}{A}^{\mathsf{T}}& C^{\mathsf{T}}\\ B^{\mathsf{T}}& D^{\mathsf{T}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{S}_0& O\\ O& O\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{A}^{\mathsf{T}}{S}_0& O\\ B^{\mathsf{T}}{S}_0& O\end{array}\right),$$
$$g^{\mathsf{T}}Sg=\left(\begin{array}{cc}{A}^{\mathsf{T}}{S}_{0}A& A^{\mathsf{T}}{S}_{0}B\\ B^{\mathsf{T}}{S}_{0}A& B^{\mathsf{T}}{S}_{0}B\end{array}\right).$$
これが $S$ に等しい条件は
(i) $A^{\mathsf{T}}{S}_{0}A=S_0$、(ii) $A^{\mathsf{T}}{S}_{0}B=O$、(iii) $B^{\mathsf{T}}{S}_{0}B=O$ である。

(i) より $\det A=\pm 1$ なので $A$ は可逆で、$A\in O(p,q)$。すると (ii) から $S_{0}B=(A^{\mathsf{T}}{)}^{-1}\cdot O=O$、$S_0$ は可逆だから $B=O$。このとき (iii) は自動的に成り立つ。

$B=O$ なら $g$ はブロック下三角で $\det g=\det A\det D$ なので、$g\in GL(n,\mathbb{R})$ であることは $D\in GL(k,\mathbb{R})$ と同値である。$C$ は任意の $k\times m$ 行列でよい。

よって
$$G\cong \left\{\left(\begin{array}{cc}A& O\\ C& D\end{array}\right)|A\in O(p,q),C\in M_{k,m}(\mathbb{R}),D\in GL(k,\mathbb{R})\right\}$$
（多様体として $O(p,q)\times M_{k,m}(\mathbb{R})\times GL(k,\mathbb{R})$）。

次元は $\dim O(p,q)=\frac{m(m-1)}{2}$（リー環 $\mathfrak{o}(p,q)$ は $S_{0}X$ が反対称となる $X$ の全体で、次元は $m(m-1)/2$）、$\dim M_{k,m}=km$、$\dim GL(k,\mathbb{R})=k^2$ の和であり、
$$\dim G=\frac{(p+q)(p+q-1)}{2}+k(p+q)+k^2.$$

検算: $k=0$ のとき $\dim O(p,q)=n(n-1)/2$ で一致。$p=q=0$ のとき $S=O$ で $G=GL(k,\mathbb{R})$、次元 $k^2$ で一致。$p=1,q=0,k=1$ のとき $n=2$、$G=\{\left(\begin{array}{cc}\pm 1& 0\\ c& d\end{array}\right)\}$ で次元 $2$、式は $0+1+1=2$ で一致。