リー群・リー環の問題

コンパクトリー群 $U(7)$ の作用による軌道 $\mathcal{O}$ は等方部分群 $H=\{g\in U(7)\mid g{A}_0{g}^{\ast }=A_0\}$ による等質空間 $U(7)/H$ と微分同相な閉部分多様体なので
$$\dim \mathcal{O}=\dim U(7)-\dim H.$$

$\dim U(7)$. リー環は $\mathfrak{u}(7)=\{X\mid X^{\ast }=-X\}$。対角成分は純虚数で $7$ 個の実パラメータ、対角より上の成分は複素数で $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{2}\right)=21$ 個（実パラメータ $42$ 個）、下の成分はそれで決まるので $\dim U(7)=7+42=49=7^2$。

$\dim H$. $g^{\ast }=g^{-1}$ なので $g{A}_0{g}^{\ast }=A_0⟺g{A}_0=A_{0}g$。$A_0$ の固有空間は、固有値 $1$ が $W_1=⟨e_1,e_2⟩$、固有値 $2$ が $W_2=⟨e_3,e_4,e_5⟩$、固有値 $5$ が $W_5=⟨e_6,e_7⟩$。$A_0$ と可換な行列は各固有空間を保つので、ブロック対角行列 $\mathrm{diag}(g_1,g_2,g_3)$（$g_1,g_3$ は $2$ 次、$g_2$ は $3$ 次）であり、逆にこの形の行列は $A_0$ と可換である。これがユニタリであることと各 $g_i$ がユニタリであることは同値なので
$$H=U(2)\times U(3)\times U(2),\dim H=2^2+3^2+2^2=17.$$

結論. $\dim \mathcal{O}=49-17=32$。

（リー環で見ても、$\mathcal{O}$ の $A_0$ での接空間は $\{[X,A_0]\mid X\in \mathfrak{u}(7)\}$ で、$X\mapsto [X,A_0]$ の核が $\mathfrak{h}=\mathfrak{u}(2)\oplus \mathfrak{u}(3)\oplus \mathfrak{u}(2)$（次元 $17$）なので、像の次元は $49-17=32$ となり一致する。）

軌道は $U(7)/\mathrm{Stab}(A_0)$ と微分同相。$g{A}_0{g}^{\ast }=A_0$ となる $g$ は $A_0$ と可換（$g^{\ast }=g^{-1}$ より）で、固有空間を保つので、固有値 $1,2,5$ の重複度 $2,3,2$ に対し $\mathrm{Stab}(A_0)=U(2)\times U(3)\times U(2)$。

$\dim U(m)=m^2$ より
$$\dim \mathcal{O}=\dim U(7)-\dim (U(2)\times U(3)\times U(2))=49-(4+9+4)=32.$$

検算: 複素旗多様体 $Fl(2,3,2;{\mathbb{C}}^7)$ の実次元は $2\cdot \frac{7^2-(2^2+3^2+2^2)}{2}=49-17=32$。また ${\sum }_{i<j}2m_i{m}_j=2(6+4+6)=32$ とも一致。