リー群・リー環の問題

方針: 軌道の次元の公式
$$\dim (G\cdot A)=\dim G-\dim G_A$$
を使う。ここで $G_A=\{g\in G\mid gA{g}^{-1}=A\}$ は $A$ の固定部分群（安定化群）である。

1. $\dim G$

$GL(4,\mathbb{C})$ は $M_4(\mathbb{C})$ の開集合なので $\dim G=4^2=16$。

2. 固定部分群とそのリー環

$gA{g}^{-1}=A$ は $gA=Ag$ と同値なので、$G_A=\{g\in GL(4,\mathbb{C})\mid gA=Ag\}$。$g=e^{tX}$ を代入して $t$ で微分し $t=0$ とおくと、$G_A$ のリー環は
$${\mathfrak{g}}_A=\{X\in \mathfrak{gl}(4,\mathbb{C})\mid XA=AX\}$$
（$A$ の中心化環）であり、$\dim G_A=\dim {\mathfrak{g}}_A$ である。

3. 中心化環の次元

$X=(x_{ij})$ とすると、$A=\mathrm{diag}(a_1,a_2,a_3,a_4)=\mathrm{diag}(1,1,2,3)$ に対し
$$(XA-AX{)}_{ij}=(a_j-a_i)x_{ij}$$
なので、$XA=AX$ は「$a_i\ne a_j$ なら $x_{ij}=0$」と同値である。$a_i=a_j$ となる $(i,j)$ は、$\{1,2\}$ どうしの $2^2=4$ 組と $(3,3)$, $(4,4)$ の $2$ 組で、合わせて $6$ 組。よって
$$\dim {\mathfrak{g}}_A=2^2+1^2+1^2=6.$$
（固有値の重複度が $2,1,1$ なので $\sum m_i^2=6$ と一致する。）

4. 軌道の次元
$$\dim (G\cdot A)=16-6=10.$$

軌道は等質空間 $G/Z_G(A)$ と微分同相なので、${\dim }_{\mathbb{C}}(G\cdot A)=\dim G-\dim Z_G(A)$。

$A=\mathrm{diag}(1,1,2,3)$ は対角化可能で、固有値 $1,2,3$ の重複度はそれぞれ $2,1,1$。$A$ と可換な行列は固有空間を保つので、中心化群は $Z_G(A)=G{L}_2(\mathbb{C})\times G{L}_1(\mathbb{C})\times G{L}_1(\mathbb{C})$。その複素次元は $2^2+1+1=6$。

$\dim G=4^2=16$ なので、${\dim }_{\mathbb{C}}(G\cdot A)=16-6=10$。
検算: 完全旗多様体型の一般の対角行列（相異なる固有値）なら $16-4=12$、固有値の重複度 $(2,1,1)$ なら中心化群が $4$ 次元から $6$ 次元に増え軌道は $2$ 次元小さい $10$。これは $\dim =n^2-\sum m_i^2=16-(4+1+1)=10$ と一致する。