リー群・リー環の問題

$7$ 次の実対角行列 $$A=\mathrm{diag}(-1,-1,2,2,2,2,5)$$ を考える。実特殊直交群 $$SO(7)=\{g\in GL(7,\mathbb{R})\mid g^{\mathsf{T}}g=I_7,\det g=1\}$$（$I_7$ は $7$ 次単位行列）における $A$ の中心化群 $$Z=\{g\in SO(7)\mid gA=Ag\}$$ は $SO(7)$ の閉部分群であり、実リー群である。$Z$ の実リー群としての次元 ${\dim }_{\mathbb{R}}Z$ を求めよ。

$4$ 次の複素対角行列
$$A=\mathrm{diag}(1,1,2,3)$$
を考える。複素リー群 $G=GL(4,\mathbb{C})$ は $4$ 次複素正方行列全体 $M_4(\mathbb{C})$ に共役 $g\cdot X=gX{g}^{-1}$ で作用する。$A$ の軌道（共役類）
$$G\cdot A=\{gA{g}^{-1}\mid g\in GL(4,\mathbb{C})\}$$
の複素多様体としての次元（複素次元）を求めよ。

$e_1,\dots ,e_9$ を ${\mathbb{C}}^9$ の標準基底とし、部分空間
$$V_1={\mathrm{span}}_{\mathbb{C}}\{e_1,e_2\},V_2={\mathrm{span}}_{\mathbb{C}}\{e_1,e_2,e_3,e_4,e_5\}$$
を考える（$V_1\subset V_2\subset {\mathbb{C}}^9$）。特殊線形群 $SL(9,\mathbb{C})=\{g\in GL(9,\mathbb{C})\mid \det g=1\}$ の部分群
$$P=\{g\in SL(9,\mathbb{C})\mid g{V}_1=V_1,g{V}_2=V_2\}$$
は $GL(9,\mathbb{C})$ の閉部分群であり、実リー群とみなせる。$P$ の実リー群としての次元（すなわちリー環 $\mathfrak{p}=\{X\in \mathfrak{gl}(9,\mathbb{C})\mid \text{すべての実数 }t\text{ に対して }\exp (tX)\in P\}$ の実ベクトル空間としての次元）を求めよ。

$n$ を $2$ 以上の整数とし、$e_1={}^t(1,0,\dots ,0)\in {\mathbb{R}}^n$ を第 $1$ 標準基底ベクトルとする。$GL(n,\mathbb{R})$ の閉部分群
$$G=\{g\in GL(n,\mathbb{R})\mid g{e}_1=e_1\}$$
を考え、そのリー環を
$$\mathfrak{g}=\{X\in M_n(\mathbb{R})\mid \text{すべての実数 }t\text{ に対して }{e}^{tX}\in G\}$$
で定める。$\mathfrak{g}$ の実ベクトル空間としての次元を $n$ の式で求めよ。

$7$ 次の実対角行列
$$A=\mathrm{diag}\left(1,-1,1,-1,1,1,3\right)$$
を考える。$A$ の中心化環
$$\mathfrak{z}(A)=\{X\in \mathfrak{gl}(7,\mathbb{R})\mid XA=AX\}$$
の実ベクトル空間としての次元を求めよ。