リー群・リー環の問題

方針: $A$ は対角行列なので、$XA=AX$ を成分ごとに書くと、どの成分 $x_{ij}$ が自由に選べるかがすぐわかる。結果として、固有値の重複度 $m_i$ から $\dim \mathfrak{z}(A)=\sum m_i^2$ となる。

手順 1（成分で書く）
$A=\mathrm{diag}(a_1,\dots ,a_7)$、$X=(x_{ij})$ とおくと
$$(XA{)}_{ij}=x_{ij}{a}_j,(AX{)}_{ij}=a_i{x}_{ij}$$
なので、$XA=AX$ は
$$(a_i-a_j)x_{ij}=0(1\le i,j\le 7)$$
と同値である。よって $a_i=a_j$ のときは $x_{ij}$ は任意、$a_i\ne a_j$ のときは $x_{ij}=0$ となる。

手順 2（固有値の重複度を数える）
対角成分 $1,-1,1,-1,1,1,3$ を固有値ごとにまとめると
- 固有値 $1$: 第 $1,3,5,6$ 成分の $4$ 個（$m_1=4$）
- 固有値 $-1$: 第 $2,4$ 成分の $2$ 個（$m_2=2$）
- 固有値 $3$: 第 $7$ 成分の $1$ 個（$m_3=1$）

手順 3（次元を求める）
自由に選べる成分 $x_{ij}$ は、$a_i=a_j$ となる順序対 $(i,j)$ の個数だけある。固有値 $1$ どうしで $4\times 4=16$ 個、$-1$ どうしで $2\times 2=4$ 個、$3$ どうしで $1\times 1=1$ 個なので
$$\dim \mathfrak{z}(A)=4^2+2^2+1^2=16+4+1=21.$$
（基底の順序を並べかえて同じ固有値を集めると、$\mathfrak{z}(A)$ はブロック対角行列 $\mathfrak{gl}(4)\oplus \mathfrak{gl}(2)\oplus \mathfrak{gl}(1)$ の形の行列全体になることに対応している。）

答え: $21$

$A$ は対角行列で、固有値 $1$ の重複度が 4（第 1, 3, 5, 6 成分）、$-1$ の重複度が 2（第 2, 4 成分）、$3$ の重複度が 1（第 7 成分）である。$X=(x_{ij})$ に対し $(XA{)}_{ij}=x_{ij}{a}_j$、$(AX{)}_{ij}=a_i{x}_{ij}$ なので、$XA=AX$ は $(a_j-a_i)x_{ij}=0$ と同値。すなわち $a_i\ne a_j$ なら $x_{ij}=0$、$a_i=a_j$ なら $x_{ij}$ は自由。よって $\mathfrak{z}(A)\cong \mathfrak{gl}(4,\mathbb{R})\oplus \mathfrak{gl}(2,\mathbb{R})\oplus \mathfrak{gl}(1,\mathbb{R})$ で、次元は $4^2+2^2+1^2=16+4+1=21$。検算: 自由な成分の個数は、$a_i=a_j$ となる組 $(i,j)$ の数 $16+4+1=21$ と一致する。