リー群・リー環の問題

リー環. 閉部分群 $\mathrm{Aut}(\mathfrak{n})$ のリー環は $\{D\in \mathfrak{gl}(\mathfrak{n})\mid e^{tD}\in \mathrm{Aut}(\mathfrak{n})(\forall t)\}$ であり、これは導分全体 $$\mathrm{Der}(\mathfrak{n})=\{D\mid D[X,Y]=[DX,Y]+[X,DY]\}$$ に一致する（$e^{tD}[X,Y]=[e^{tD}X,e^{tD}Y]$ を $t=0$ で微分すると導分の条件になり、逆に $D$ が導分ならライプニッツ則 $D^m[X,Y]={\sum }_k\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k}\right)[D^{k}X,D^{m-k}Y]$ から $e^{tD}$ は自己同型）。よって $\dim \mathrm{Aut}(\mathfrak{n})=\dim \mathrm{Der}(\mathfrak{n})$ を求める。

基底と括弧積. 行列単位 $E_{ij}$ を用いて $$x_1=E_{12},x_2=E_{23},x_3=E_{34},y_1=E_{13},y_2=E_{24},z=E_{14}$$ とおく。$E_{ij}{E}_{kl}={\delta }_{jk}{E}_{il}$ より、$0$ でない括弧積は（反対称性を除いて） $$[x_1,x_2]=y_1,[x_2,x_3]=y_2,[x_1,y_2]=z,[y_1,x_3]=z$$ だけである。

導分の計算. $D$ は $x_1,x_2,x_3$ の像で決まる（$y_1,y_2,z$ はそれらの括弧積）。 $$D{x}_i=a_{i1}{x}_1+a_{i2}{x}_2+a_{i3}{x}_3+b_{i1}{y}_1+b_{i2}{y}_2+c_{i}z(i=1,2,3)$$ とおき（$18$ 個のパラメータ）、$D{y}_1=[D{x}_1,x_2]+[x_1,D{x}_2]$、$D{y}_2=[D{x}_2,x_3]+[x_2,D{x}_3]$、$Dz=[D{x}_1,y_2]+[x_1,D{y}_2]$ と定めたうえで、基底のすべての組について導分の条件を課す。

$(1)$ $[x_1,x_3]=0$ から: $[D{x}_1,x_3]=a_{12}{y}_2+b_{11}z$、$[x_1,D{x}_3]=a_{32}{y}_1+b_{32}z$ なので $$a_{12}=0,a_{32}=0,b_{11}+b_{32}=0.$$

このとき $$D{y}_1=(a_{11}+a_{22})y_1-a_{13}{y}_2+b_{22}z,D{y}_2=-a_{31}{y}_1+(a_{22}+a_{33})y_2+b_{21}z.$$

$(2)$ $[x_1,y_1]=0$ から: $[D{x}_1,y_1]=a_{13}[x_3,y_1]=-a_{13}z$、$[x_1,D{y}_1]=-a_{13}[x_1,y_2]=-a_{13}z$。和が $0$ より $a_{13}=0$。

$(3)$ $[x_3,y_2]=0$ から: $[D{x}_3,y_2]=a_{31}[x_1,y_2]=a_{31}z$、$[x_3,D{y}_2]=-a_{31}[x_3,y_1]=a_{31}z$。よって $a_{31}=0$。

$(4)$ $[x_2,y_1]=0$ から: $[D{x}_2,y_1]=a_{23}[x_3,y_1]=-a_{23}z$、$[x_2,D{y}_1]=0$。よって $a_{23}=0$。

$(5)$ $[x_2,y_2]=0$ から: $[D{x}_2,y_2]=a_{21}[x_1,y_2]=a_{21}z$、$[x_2,D{y}_2]=0$。よって $a_{21}=0$。

$(6)$ $z$ の 2 通りの表し方の整合性: $Dz=[D{x}_1,y_2]+[x_1,D{y}_2]=(a_{11}+a_{22}+a_{33})z$、$Dz=[D{y}_1,x_3]+[y_1,D{x}_3]=(a_{11}+a_{22}+a_{33})z$ で自動的に一致する。

$(7)$ 残りの組（$y_i$ どうし、$z$ を含む組）: $D{y}_i\in ⟨y_1,y_2,z⟩$、$Dz\in ⟨z⟩$ で、$⟨y_1,y_2,z⟩$ は可換、$z$ は中心なので条件は自動的に成り立つ。

数え上げ. 課された独立な条件は $a_{12}=a_{32}=a_{13}=a_{31}=a_{23}=a_{21}=0$ と $b_{32}=-b_{11}$ の $7$ 個で、逆にこれらをみたせば上の確認により $D$ は導分になる。残る自由なパラメータは $$a_{11},a_{22},a_{33},b_{11},b_{12},b_{21},b_{22},b_{31},c_1,c_2,c_3$$ の $11$ 個。したがって $$\dim \mathrm{Aut}(\mathfrak{n})=\dim \mathrm{Der}(\mathfrak{n})=18-7=11.$$

（参考: 内部導分 $\mathrm{ad}\mathfrak{n}$ は $\mathfrak{n}/\mathfrak{z}(\mathfrak{n})$ と同型で $5$ 次元、対角的な導分 $a_{11},a_{22},a_{33}$ が $3$ 次元分あり、残りの $3$ 次元が外部的な寄与である。）

$\mathrm{Aut}(\mathfrak{n})$ は $GL(\mathfrak{n})$ の閉部分群で、そのリー環は導分全体 $\mathrm{Der}(\mathfrak{n})$ である。よって $\dim \mathrm{Aut}(\mathfrak{n})=\dim \mathrm{Der}(\mathfrak{n})$ を求める。

基底を $e_1=E_{12},e_2=E_{23},e_3=E_{34},E_{13},E_{24},E_{14}$ とする。0 でない括弧積は $[e_1,e_2]=E_{13}$, $[e_2,e_3]=E_{24}$, $[e_1,E_{24}]=E_{14}$, $[E_{13},e_3]=E_{14}$ とその反対称版のみ（$[e_1,e_3]=0$）。$\mathfrak{n}$ は $e_1,e_2,e_3$ で生成され、定義関係式は
$[e_1,e_3]=0$, $[e_1,[e_1,e_2]]=0$, $[e_2,[e_1,e_2]]=0$, $[e_2,[e_2,e_3]]=0$, $[e_3,[e_2,e_3]]=0$（および次数 4 以上が 0、$[e_1,[e_2,e_3]]=[[e_1,e_2],e_3]$ は Jacobi 恒等式から従う）である。導分 $D$ は $D{e}_i\in \mathfrak{n}$（各 6 成分、計 18 個のパラメータ）で決まり、関係式を保つ条件を課す。

$D{e}_i=a_i{e}_1+b_i{e}_2+c_i{e}_3+d_i{E}_{13}+f_i{E}_{24}+g_i{E}_{14}$ とおく。

• $[e_1,e_3]=0$: $[D{e}_1,e_3]+[e_1,D{e}_3]=b_1{E}_{24}+d_1{E}_{14}+b_3{E}_{13}+f_3{E}_{14}=0$ より $b_1=b_3=0$, $d_1+f_3=0$。
• $[e_1,[e_1,e_2]]=0$: $[D{e}_1,E_{13}]+[e_1,D{E}_{13}]=-c_1{E}_{14}-c_1{E}_{14}=0$ より $c_1=0$。
• $[e_2,[e_1,e_2]]=0$: $[D{e}_2,E_{13}]+[e_2,D{E}_{13}]=-c_2{E}_{14}=0$ より $c_2=0$。
• $[e_2,[e_2,e_3]]=0$: 同様に $a_2{E}_{14}=0$ より $a_2=0$。
• $[e_3,[e_2,e_3]]=0$: $2a_3{E}_{14}=0$ より $a_3=0$。

($[e_1,e_3]$ から生じるイデアルの次数 3 の関係式は、$D$ がそれを保つことから自動的に成り立つ。)

残る自由パラメータ: 対角部分 $a_1,b_2,c_3$ の 3 個、次数 2 部分 $d_1,d_2,d_3,f_1,f_2,f_3$ の 6 個から条件 $d_1+f_3=0$ を引いた 5 個、$g_1,g_2,g_3$ の 3 個。
$$\dim \mathrm{Der}(\mathfrak{n})=3+5+3=11.$$

検算: 内部導分は $\dim \mathfrak{n}-\dim \mathfrak{z}(\mathfrak{n})=6-1=5$ 次元、対角行列によるトーラスが 3 次元（これらは内部導分と一次独立）、残り 3 次元は $e_1\mapsto E_{24}$、$e_3\mapsto E_{13}$ などの中心的ではない外部導分と $g_i$ に対応する。内部導分 $\mathrm{ad}{e}_2$ は $e_1\mapsto -E_{13},e_3\mapsto E_{24}$ で $d_1+f_3=0$ をみたす。