リー群・リー環の問題

$G=\mathrm{Aut}({\mathfrak{h}}_n)$ は $GL({\mathfrak{h}}_n)$ の閉部分群なので、そのリー環は
$$\mathrm{Lie}(G)=\{D\in \mathfrak{gl}({\mathfrak{h}}_n)\mid \exp (tD)\in G(t\in \mathbb{R})\}$$
であり、これは導分のなすリー環
$$\mathrm{Der}({\mathfrak{h}}_n)=\{D\mid D[u,v]=[Du,v]+[u,Dv]\}$$
に一致する（$\exp (tD)$ が自己同型であることを $t$ で微分すると導分の条件が得られ、逆に導分 $D$ に対して $\exp (tD)$ は自己同型になる）。よって $\dim G=\dim \mathrm{Der}({\mathfrak{h}}_n)$ を求めればよい。

$V=\mathrm{span}(X_1,\dots ,X_n,Y_1,\dots ,Y_n)$ とおき、$V$ 上の交代形式 $\omega$ を $[u,v]=\omega (u,v)Z(u,v\in V)$ で定める。$\omega (X_i,Y_j)={\delta }_{ij}$ なので $\omega$ は非退化（シンプレクティック形式）である。また中心は $\mathbb{R}Z$ である。

$DZ$ について. 任意の $v\in V$ に対し $[Z,v]=0$ だから $0=D[Z,v]=[DZ,v]+[Z,Dv]=[DZ,v]$。$\omega$ が非退化なので $DZ$ の $V$ 成分は $0$ であり、$DZ=cZ$（$c\in \mathbb{R}$）と書ける。

$D{|}_V$ について. $v\in V$ に対し $Dv=Av+\varphi (v)Z$（$A\in \mathrm{End}(V)$、$\varphi \in V^{\ast }$）と書く。$u,v\in V$ について導分の条件は
$$D[u,v]=\omega (u,v)cZ,[Du,v]+[u,Dv]=(\omega (Au,v)+\omega (u,Av))Z$$
より
$$\omega (Au,v)+\omega (u,Av)=c\omega (u,v)(u,v\in V)(1)$$
となる。$Z$ 成分 $\varphi (u)Z$ は中心に入るので括弧積に寄与せず、$\varphi \in V^{\ast }$ には何の条件もつかない。

次元の計算. $(1)$ を満たす $(A,c)$ の全体を考える。$A_0=A-\frac{c}{2}I$ とおくと $(1)$ は $\omega (A_{0}u,v)+\omega (u,A_{0}v)=0$、すなわち $A_0\in \mathfrak{sp}(V,\omega )$ と同値である。したがって $(A,c)\mapsto (A_0,c)$ により $(1)$ の解空間は $\mathfrak{sp}(2n,\mathbb{R})\oplus \mathbb{R}$ と同型で、次元は
$$\dim \mathfrak{sp}(2n,\mathbb{R})+1=n(2n+1)+1.$$
（$c$ は $A$ から一意に定まり、$DZ=cZ$ もこれで決まる。）

逆に $(A,c)$ が $(1)$ を満たし $\varphi \in V^{\ast }$ が任意なら、$Dv=Av+\varphi (v)Z,DZ=cZ$ で定まる $D$ は導分である（$Z$ を含む括弧積は両辺とも $0$）。

よって
$$\dim \mathrm{Der}({\mathfrak{h}}_n)=n(2n+1)+1+2n=2n^2+3n+1=(n+1)(2n+1).$$

（確認: $n=1$ のとき $6$ で、$\mathrm{Aut}({\mathfrak{h}}_1)\cong GL(2,\mathbb{R})⋉{\mathbb{R}}^2$ の次元 $4+2=6$ と一致する。）

したがって求める次元は $(n+1)(2n+1)$ である。

${\mathfrak{h}}_n=V\oplus \mathbb{R}Z$($V=\mathrm{span}\{X_i,Y_i\}$、$\dim V=2n$)で、中心は $\mathfrak{z}=\mathbb{R}Z=[{\mathfrak{h}}_n,{\mathfrak{h}}_n]$ である。自己同型 $\phi$ は中心を保つので、$\phi (Z)=cZ$($c\ne 0$)と書け、商 $V={\mathfrak{h}}_n/\mathfrak{z}$ に線型同型 $A$ を誘導する。括弧積は $[u,v]=\omega (u,v)Z$($\omega$ は $V$ 上の標準シンプレクティック形式)なので、$\phi$ が自己同型であることは $\omega (Au,Av)=c\omega (u,v)$ と同値(すなわち $A$ は共形シンプレクティック、$c$ はそのスケール)。
逆に、共形シンプレクティック写像 $A\in GSp(2n,\mathbb{R})$(係数 $c$)と、任意の線型写像 $\lambda :V\to \mathbb{R}$ に対し、$\phi (v)=Av+\lambda (v)Z$、$\phi (Z)=cZ$ が自己同型を定める。
次元: $\dim GSp(2n,\mathbb{R})=\dim Sp(2n,\mathbb{R})+1=n(2n+1)+1=2n^2+n+1$。$\lambda$ の自由度は $2n$。
合計 $2n^2+n+1+2n=2n^2+3n+1$。
検算: $n=1$ のとき $\mathrm{Aut}({\mathfrak{h}}_1)$ は $G{L}_2(\mathbb{R})⋉{\mathbb{R}}^2$ で次元 $4+2=6$。式は $2+3+1=6$ で一致。