リー環の微分と自己同型群の次元

$D ([u, v]) = [D u, v] + [u, D v]$ を満たす線形写像（微分）全体 $Der (g)$ を基底の像についての連立 1 次方程式として求め、 $Lie (Aut g) = Der g$ から自己同型群の次元を求められる（例: ハイゼンベルク・リー環）

前提

リー環の括弧積と随伴表現（大学院数学リー群・リー環）
行列リー群のリー環（大学院数学リー群・リー環）

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算数中学高校大学大学院

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説明

リー環 $g$ の微分とは、線形写像 $D : g \to g$ で、括弧積に対してライプニッツ則 $D ([u, v]) = [D u, v] + [u, D v]$ を満たすものです。その全体 $Der (g)$ は、基底の像を未知数とする斉次の連立 1 次方程式の解空間として計算できます。さらに $Der (g)$ は自己同型群 $Aut (g)$ のリー環なので、その次元がそのまま自己同型群の次元になります。リー環の「対称性の大きさ」を測ったり、分類で 2 つのリー環を見分けたりするときに使います。

なぜそうしてよいのか

$g$ を $n$ 次元の実（または複素）リー環とし、基底を固定して $G L (g) ≅ G L (n)$ とみなします。自己同型群は $Aut (g) = {g \in G L (g) ∣ g [u, v] = [g u, g v] (\forall u, v)}$ で、条件は $g$ の成分についての多項式の等式なので $G L (n)$ の閉部分群です。そこで前提の技能「行列リー群のリー環」の方法を使います。 $g = e^{t D}$ を代入して $e^{t D} [u, v] = [e^{t D} u, e^{t D} v]$ とし、両辺を $t$ で微分して $t = 0$ とおくと、右辺は双線形性から積の微分と同じ形になり、 $D [u, v] = [D u, v] + [u, D v]$ が得られます。つまり $Lie (Aut g) \subset Der (g)$ です。

逆に $D$ が微分なら、ライプニッツ則をくり返し使って $D^{m} [u, v] = \sum_{k = 0}^{m} (k m) [D^{k} u, D^{m - k} v]$ が帰納法で示せます（二項展開と同じ計算）。これを $\frac{t ^{m}}{m !}$ 倍して $m$ について足すと $e^{t D} [u, v] = [e^{t D} u, e^{t D} v]$ となり、すべての $t$ で $e^{t D} \in Aut (g)$ です。よって $Lie (Aut g) = Der (g)$ であり、 $dim Aut (g) = dim Der (g)$ が成り立ちます。

計算の面では、ライプニッツ則は $u, v$ について双線形で、しかも $u, v$ を入れ替えると両辺とも符号が変わるだけなので、基底の組 $(e_{i}, e_{j})$ （ $i < j$ ）で確かめれば十分です。 $D$ は基底の像 $D e_{i} = \sum_{k} d_{k i} e_{k}$ で決まるので、未知数は $n^{2}$ 個の $d_{k i}$ 、条件はそれらについての斉次 1 次方程式になります。

手順

基底 $e_{1}, \dots, e_{n}$ と括弧積 $[e_{i}, e_{j}]$ を書き出し、 $D e_{i} = \sum_{k} d_{k i} e_{k}$ とおく（未知数は $n^{2}$ 個）
各組 $i < j$ について $D [e_{i}, e_{j}] = [D e_{i}, e_{j}] + [e_{i}, D e_{j}]$ を書く。 $[e_{i}, e_{j}] = 0$ の組も省かず、左辺を $0$ として条件にする
両辺を括弧積の表を使って基底で展開し、各基底の係数を比べて $d_{k i}$ の 1 次方程式を並べる
得られた斉次連立 1 次方程式を掃き出し法で解き、 $dim Der (g) = n^{2} - (係数行列の階数)$ （自由に選べる未知数の個数）を求める
$dim Aut (g) = dim Der (g)$ として答える

例題

基底 $x, y, z$ をもち、括弧積が $[x, y] = z, [x, z] = 0, [y, z] = 0$ で与えられる 3 次元実リー環（ハイゼンベルク・リー環） $h$ について、自己同型群 $Aut (h)$ の次元を求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $D x = a_{1} x + a_{2} y + a_{3} z, D y = b_{1} x + b_{2} y + b_{3} z, D z = c_{1} x + c_{2} y + c_{3} z$ とおく。未知数は 9 個。

【手順 2・3】組 $(x, y)$ ：左辺は $D [x, y] = D z = c_{1} x + c_{2} y + c_{3} z$ 。右辺は $[D x, y] + [x, D y]$ で、 $[x, y] = z$ 、 $[y, y] = 0$ 、 $[z, y] = 0$ より $[D x, y] = a_{1} z$ 、同様に $[x, D y] = b_{2} z$ 。係数を比べて $c_{1} = 0, c_{2} = 0, c_{3} = a_{1} + b_{2}$ 。

組 $(x, z)$ ：左辺は $D [x, z] = D 0 = 0$ 。右辺は $[D x, z] + [x, D z]$ 。 $z$ はすべての基底と括弧積が $0$ なので $[D x, z] = 0$ 、また $[x, D z] = c_{2} [x, y] = c_{2} z$ 。よって $c_{2} = 0$ （すでに得た条件）。

組 $(y, z)$ ：左辺は $0$ 、右辺は $[D y, z] + [y, D z] = 0 + c_{1} [y, x] = - c_{1} z$ 。よって $c_{1} = 0$ （すでに得た条件）。

【手順 4】独立な条件は $c_{1} = 0, c_{2} = 0, c_{3} = a_{1} + b_{2}$ の 3 本で、係数行列の階数は 3。自由な未知数は $a_{1}, a_{2}, a_{3}, b_{1}, b_{2}, b_{3}$ の 6 個なので $dim Der (h) = 9 - 3 = 6$ 。

【手順 5】 $dim Aut (h) = dim Der (h) = 6$ 。

答え: $6$

よくある誤り

微分を内部微分 $ad X$ だけだと思い込む誤り。例題の $h$ では $ad z = 0$ なので ${ad X}$ は 2 次元しかないが、正しくは $dim Der (h) = 6$ で、 $ad$ で書けない微分（例: $D x = x, D y = 0, D z = z$ ）もある
条件を準同型の式 $D [u, v] = [D u, D v]$ と書いてしまう誤り。これは自己同型 $g$ の条件 $g [u, v] = [g u, g v]$ をそのまま写したもので、正しくは $t$ で微分した線形化 $D [u, v] = [D u, v] + [u, D v]$ を使う
括弧積が $0$ の組 $[e_{i}, e_{j}] = 0$ を条件から外す誤り。正しくは $0 = [D e_{i}, e_{j}] + [e_{i}, D e_{j}]$ も方程式に入れる。例題でも $(y, z)$ の組から $- c_{1} z = 0$ が出ており、ほかのリー環では新しい条件になることがある
$D z$ の成分を他と無関係な自由変数として数え、 $dim Der (h) = 9$ や $dim Aut = dim G L (3) = 9$ としてしまう誤り。正しくは $z = [x, y]$ なので $D z = [D x, y] + [x, D y] = (a_{1} + b_{2}) z$ と決まり、次元は $6$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
実ベクトル空間 $g$ の基底を $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ とし、括弧積を
$[e_{1}, e_{2}] = e_{2}, [e_{1}, e_{3}] = e_{3}, [e_{2}, e_{3}] = 0$
と、交代性 $[X, Y] = - [Y, X]$ および双線形性によって定める。このとき $g$ は $3$ 次元の実リー環になる。 $g$ のリー環としての自己同型全体
$Aut g = {φ \in G L (g) ∣ すべての u, v \in g に対して φ ([u, v]) = [φ (u), φ (v)]}$
は $G L (g)$ の閉部分群であり、リー群になる。 $Aut g$ のリー群としての次元を求めよ。

リー環の微分と自己同型群の次元

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題