リー群・リー環の問題

$\mathfrak{g}$ の形. $X=\left(\begin{array}{cc}P& Q\\ R& S\end{array}\right)$（$P,Q,R,S$ は $2$ 次実行列）とおくと
$$X^{\mathsf{T}}J+JX=\left(\begin{array}{cc}R-R^{\mathsf{T}}& P^{\mathsf{T}}+S\\ -P-S^{\mathsf{T}}& Q^{\mathsf{T}}-Q\end{array}\right)$$
なので、$X\in \mathfrak{g}$ は $Q^{\mathsf{T}}=Q,R^{\mathsf{T}}=R,S=-P^{\mathsf{T}}$ と同値である。よって $\dim \mathfrak{g}=4+3+3=10$。また $X^{\mathsf{T}}=\left(\begin{array}{cc}{P}^{\mathsf{T}}& R\\ Q& -P\end{array}\right)$ も同じ形なので、$\mathfrak{g}$ は転置で閉じている。

分解. $\mathfrak{k}=\{X\in \mathfrak{g}\mid X^{\mathsf{T}}=-X\}$、$\mathfrak{p}=\{X\in \mathfrak{g}\mid X^{\mathsf{T}}=X\}$ とおくと、$X=\frac{X-X^{\mathsf{T}}}{2}+\frac{X+X^{\mathsf{T}}}{2}$ により $\mathfrak{g}=\mathfrak{k}\oplus \mathfrak{p}$。
- $\mathfrak{k}$：$P^{\mathsf{T}}=-P$（$1$ 次元）、$R=-Q$（$Q$ は対称で $3$ 次元）なので $\dim \mathfrak{k}=4$。
- $\mathfrak{p}$：$P^{\mathsf{T}}=P$（$3$ 次元）、$R=Q$（$3$ 次元）なので $\dim \mathfrak{p}=6$。

また $[\mathfrak{k},\mathfrak{k}]\subset \mathfrak{k}$、$[\mathfrak{k},\mathfrak{p}]\subset \mathfrak{p}$、$[\mathfrak{p},\mathfrak{p}]\subset \mathfrak{k}$ である（$[X,Y{]}^{\mathsf{T}}=-[X^{\mathsf{T}},Y^{\mathsf{T}}]$ から確かめられる）。

$B(\mathfrak{k},\mathfrak{p})=0$. $X\in \mathfrak{k},Y\in \mathfrak{p}$ のとき $\mathrm{ad}X\circ \mathrm{ad}Y$ は $\mathfrak{k}$ を $\mathfrak{p}$ に、$\mathfrak{p}$ を $\mathfrak{k}$ に写すので、$\mathfrak{k},\mathfrak{p}$ に合わせた基底での行列の対角ブロックは $0$ であり、トレースは $0$。

符号. $\mathfrak{g}$ に内積 $⟨Y,Z⟩=\mathrm{tr}(Y{Z}^{\mathsf{T}})$ を入れる（$\mathfrak{g}$ は転置で閉じているので意味をもつ）。$X\in \mathfrak{g}$ に対し
$$⟨[X,Y],Z⟩=\mathrm{tr}(XY{Z}^{\mathsf{T}}-YX{Z}^{\mathsf{T}})=\mathrm{tr}(Y(Z^{\mathsf{T}}X-X{Z}^{\mathsf{T}}))=⟨Y,[X^{\mathsf{T}},Z]⟩$$
なので、$\mathrm{ad}X$ の随伴は $\mathrm{ad}{X}^{\mathsf{T}}$ である。
- $X\in \mathfrak{p}$ なら $\mathrm{ad}X$ は対称作用素で、固有値は実数なので $B(X,X)=\mathrm{tr}((\mathrm{ad}X{)}^2)=\sum (\text{固有値}{)}^2\ge 0$。
- $X\in \mathfrak{k}$ なら $\mathrm{ad}X$ は交代作用素で、固有値は純虚数なので $B(X,X)=\mathrm{tr}((\mathrm{ad}X{)}^2)\le 0$。

どちらの場合も等号は $\mathrm{ad}X=0$ のときに限る。ところが $\mathfrak{g}$ の中心は $0$ である。実際、$H=\mathrm{diag}(1,2,-1,-2)\in \mathfrak{g}$ と交換する $X$ は $H$ の固有空間（各 $1$ 次元）を保つので対角行列であり、$X=\mathrm{diag}(a,b,-a,-b)$ と書ける。さらに $E=\left(\begin{array}{cc}O& I_2\\ O& O\end{array}\right)\in \mathfrak{g}$ について $XE-EX$ の右上ブロックは $\mathrm{diag}(a,b)-\mathrm{diag}(-a,-b)=2\mathrm{diag}(a,b)$ なので、$E$ と交換するには $a=b=0$、すなわち $X=O$。よって $\mathrm{ad}X=0\Rightarrow X=O$ であり、$B$ は $\mathfrak{p}$ 上で正定値、$\mathfrak{k}$ 上で負定値である。

$B(\mathfrak{k},\mathfrak{p})=0$ と合わせると、$B$ の正の固有値の個数は $\dim \mathfrak{p}=6$、負の固有値の個数は $\dim \mathfrak{k}=4$ である。

（参考：実際には $B(X,Y)=6\mathrm{tr}(XY)$ であり、$\mathfrak{p}$ 上では $6\mathrm{tr}(X{X}^{\mathsf{T}})>0$、$\mathfrak{k}$ 上では $-6\mathrm{tr}(X{X}^{\mathsf{T}})<0$ となることからも確かめられる。）

したがって $(p,q)=(6,4)$。

$\mathfrak{sp}(4,\mathbb{R})$ は単純リー環で、次元は $10$ である。カルタン分解 $\mathfrak{g}=\mathfrak{k}\oplus \mathfrak{p}$ を取る。

• 極大コンパクト部分環は $\mathfrak{k}=\mathfrak{u}(2)$ で、次元は $4$ である。
• $\mathfrak{p}$ の次元は $10-4=6$ である。

半単純リー環では、キリング形式は $\mathfrak{k}$ 上で負定値、$\mathfrak{p}$ 上で正定値になる。また $B(\mathfrak{k},\mathfrak{p})=0$ である。したがって正の固有値は $\dim \mathfrak{p}=6$ 個、負の固有値は $\dim \mathfrak{k}=4$ 個となる。

検算として、$\mathfrak{sp}(4,\mathbb{R})$ の複素化は $\mathfrak{sp}(4,\mathbb{C})$ である。その実形のキリング形式の符号数は $\dim \mathfrak{p}-\dim \mathfrak{k}=2$ で、これは $6-4=2$ と一致する。

よって $(p,q)=(6,4)$ である。