リー群・リー環の問題

実ベクトル空間 $\mathfrak{g}$ の基底を $e_1,e_2,e_3$ とし、括弧積を
$$[e_1,e_2]=e_2,[e_1,e_3]=-e_3,[e_2,e_3]=0$$
と、交代性 $[X,Y]=-[Y,X]$ および双線形性によって定める。このとき $\mathfrak{g}$ は $3$ 次元の実リー環になる。$\mathfrak{g}$ のキリング形式を
$$B(X,Y)=\mathrm{tr}(\mathrm{ad}X\circ \mathrm{ad}Y)(X,Y\in \mathfrak{g})$$
（$\mathrm{ad}X:Z\mapsto [X,Z]$）とし、その根基を
$$\mathrm{rad}B=\{X\in \mathfrak{g}\mid \text{すべての }Y\in \mathfrak{g}\text{ に対して }B(X,Y)=0\}$$
とする。$\mathrm{rad}B$ の（実ベクトル空間としての）次元を求めよ。

実ベクトル空間 $\mathfrak{g}$ の基底を $e_1,e_2,e_3$ とし、括弧積を
$$[e_1,e_2]=e_2,[e_1,e_3]=e_3,[e_2,e_3]=0$$
と、交代性 $[X,Y]=-[Y,X]$ および双線形性によって定める。このとき $\mathfrak{g}$ は $3$ 次元の実リー環になる。$\mathfrak{g}$ のリー環としての自己同型全体
$$\mathrm{Aut}\mathfrak{g}=\{\phi \in GL(\mathfrak{g})\mid \text{すべての }u,v\in \mathfrak{g}\text{ に対して }\phi ([u,v])=[\phi (u),\phi (v)]\}$$
は $GL(\mathfrak{g})$ の閉部分群であり、リー群になる。$\mathrm{Aut}\mathfrak{g}$ のリー群としての次元を求めよ。

$n$ を $2$ 以上の整数とし、$e_1={}^t(1,0,\dots ,0)\in {\mathbb{R}}^n$ を第 $1$ 標準基底ベクトルとする。$GL(n,\mathbb{R})$ の閉部分群
$$G=\{g\in GL(n,\mathbb{R})\mid g{e}_1=e_1\}$$
を考え、そのリー環を
$$\mathfrak{g}=\{X\in M_n(\mathbb{R})\mid \text{すべての実数 }t\text{ に対して }{e}^{tX}\in G\}$$
で定める。$\mathfrak{g}$ の実ベクトル空間としての次元を $n$ の式で求めよ。

${\mathbb{R}}^4$ に標準内積 $(,)$ を入れ、標準基底を $e_1,e_2,e_3,e_4$ とする。$A_3$ 型のルート系
$$\Phi =\{e_i-e_j\mid 1\le i,j\le 4,i\ne j\}$$
のワイル群 $W$ を、鏡映 $s_{\alpha }(x)=x-\frac{2(x,\alpha )}{(\alpha ,\alpha )}\alpha$（$\alpha \in \Phi$）全体で生成される $GL({\mathbb{R}}^4)$ の部分群とする。ベクトル
$$v=(2,2,1,0)=2e_1+2e_2+e_3$$
の $W$-軌道 $Wv=\{wv\mid w\in W\}$ の元の個数を求めよ。

$e_1,\dots ,e_9$ を ${\mathbb{C}}^9$ の標準基底とし、部分空間
$$V_1={\mathrm{span}}_{\mathbb{C}}\{e_1,e_2\},V_2={\mathrm{span}}_{\mathbb{C}}\{e_1,e_2,e_3,e_4,e_5\}$$
を考える（$V_1\subset V_2\subset {\mathbb{C}}^9$）。特殊線形群 $SL(9,\mathbb{C})=\{g\in GL(9,\mathbb{C})\mid \det g=1\}$ の部分群
$$P=\{g\in SL(9,\mathbb{C})\mid g{V}_1=V_1,g{V}_2=V_2\}$$
は $GL(9,\mathbb{C})$ の閉部分群であり、実リー群とみなせる。$P$ の実リー群としての次元（すなわちリー環 $\mathfrak{p}=\{X\in \mathfrak{gl}(9,\mathbb{C})\mid \text{すべての実数 }t\text{ に対して }\exp (tX)\in P\}$ の実ベクトル空間としての次元）を求めよ。