ヒッグス機構とゲージボソンの質量

共変微分 $D_{μ} = \partial_{μ} - i g T^{a} W_{μ}^{a} - i g^{'} Y B_{μ}$ をスカラー場の真空期待値に作用させて運動項から質量項を読み取り、電弱理論で $M_{W} = \frac{g v}{2}$ 、 $M_{Z} = \frac{g ^{2} + g ^{'2} v}{2}$ 、 $cos θ_{W} = M_{W} / M_{Z}$ と、質量ゼロの光子と電荷 $e = g sin θ_{W}$ を求められる

前提

リー環の括弧積と随伴表現（大学院数学リー群・リー環）
角運動量の固有状態と昇降演算子（大学物理量子力学（角運動量・近似法））
対称行列の直交対角化（大学数学線形代数）
ゲージ変換とゲージ条件（大学物理電磁波と電磁場）

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算数中学高校大学大学院

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電磁ポテンシャルと場（大学物理電磁波と電磁場）
ゲージ変換とゲージ条件（大学物理電磁波と電磁場）

説明

ゲージ対称性をもつ理論でスカラー場（ヒッグス場）が 0 でない真空期待値をもつと、ゲージ場の 2 次の項が運動項 $(D_{μ} Φ)^{†} (D^{μ} Φ)$ から現れ、ゲージボソンが質量をもちます。この技能では、共変微分を真空期待値に作用させて質量項を読み取り、電弱理論 $S U (2)_{L} \times U (1)_{Y}$ で $W^{\pm}$ と $Z$ の質量、ワインバーグ角 $θ_{W}$ 、質量ゼロで残る光子とその結合定数 $e$ を求めます。ゲージ群やスカラー場の表現を変えたモデルでも、同じ手順でどのゲージボソンがどれだけ重くなるかを計算できます。

なぜそうしてよいのか

計量は $(+, -, -, -)$ とし、ヒッグス場 $Φ$ は $S U (2)_{L}$ の 2 重項（生成子 $T^{a} = \frac{σ ^{a}}{2}$ 、 $σ^{a}$ はパウリ行列）で超電荷 $Y = \frac{1}{2}$ をもつとします。ラグランジアンの運動項 $(D_{μ} Φ)^{†} (D^{μ} Φ)$ に真空期待値 $⟨ Φ ⟩ = \frac{1}{2} (0 v)$ を代入すると、 $\partial_{μ} ⟨ Φ ⟩ = 0$ なので残るのはゲージ場が 2 個掛かった項だけです。ゲージ場は場の 2 乗の係数がそのまま質量の 2 乗を与えるので、これを読み取れば質量がわかります。読み取りの基準は、実ベクトル場 $A_{μ}$ では $\frac{1}{2} M^{2} A_{μ} A^{μ}$ 、複素ベクトル場 $W_{μ}$ では $M^{2} W_{μ}^{†} W^{μ}$ です（1/2 の有無は、実スカラー場 $\frac{1}{2} m^{2} ϕ^{2}$ と複素スカラー場 $m^{2} ∣ ϕ ∣^{2}$ の違いと同じです）。

計算すると
$D_{μ} ⟨ Φ ⟩ = - \frac{i}{2} (g W_{μ}^{3} + g^{'} B_{μ} g (W_{μ}^{1} + i W_{μ}^{2}) g (W_{μ}^{1} - i W_{μ}^{2}) - g W_{μ}^{3} + g^{'} B_{μ}) \frac{1}{2} (0 v)$
より
$∣ D_{μ} ⟨ Φ ⟩ ∣^{2} = \frac{v ^{2}}{8} [g^{2} ((W_{μ}^{1})^{2} + (W_{μ}^{2})^{2}) + (g W_{μ}^{3} - g^{'} B_{μ})^{2}]$
となります。 $W^{1}, W^{2}$ の部分は $W_{μ}^{\pm} = \frac{1}{2} (W_{μ}^{1} \mp i W_{μ}^{2})$ で $\frac{g ^{2} v ^{2}}{4} W_{μ}^{+} W^{- μ}$ と書けるので $M_{W} = \frac{g v}{2}$ です。

中性の部分は $(W^{3}, B)$ についての 2 次形式 $\frac{v ^{2}}{8} (W^{3}, B) (g^{2} - g g^{'} - g g^{'} g^{'2}) (W^{3} B)$ です。この実対称行列を直交行列で対角化すると、固有値は $g^{2} + g^{'2}$ と $0$ （行列式が 0）です。 $cos θ_{W} = \frac{g}{g ^{2} + g ^{'2}}$ 、 $sin θ_{W} = \frac{g ^{'}}{g ^{2} + g ^{'2}}$ として、固有ベクトルに対応する場は $Z_{μ} = cos θ_{W} W_{μ}^{3} - sin θ_{W} B_{μ}$ （ $\frac{1}{2} M_{Z}^{2} = \frac{v ^{2} ( g ^{2} + g ^{'2} )}{8}$ より $M_{Z} = \frac{g ^{2} + g ^{'2} v}{2}$ ）と $A_{μ} = sin θ_{W} W_{μ}^{3} + cos θ_{W} B_{μ}$ （質量 0、光子）です。したがって $cos θ_{W} = M_{W} / M_{Z}$ 。共変微分の中性部分 $g T^{3} W_{μ}^{3} + g^{'} Y B_{μ}$ を $A, Z$ で書き直すと $A_{μ}$ の係数は $g sin θ_{W} T^{3} + g^{'} cos θ_{W} Y = \frac{g g ^{'}}{g ^{2} + g ^{'2}} (T^{3} + Y)$ となり、電荷 $Q = T^{3} + Y$ との結合定数は $e = g sin θ_{W} = g^{'} cos θ_{W}$ です。光子が質量をもたないのは、真空期待値が $Q ⟨ Φ ⟩ = 0$ を満たし、 $Q$ の変換で真空が変わらないからです。

手順

計量の符号、生成子 $T^{a}$ 、超電荷 $Y$ 、共変微分 $D_{μ} = \partial_{μ} - i g T^{a} W_{μ}^{a} - i g^{'} Y B_{μ}$ の流儀と、真空期待値 $⟨ Φ ⟩$ （標準的には $\frac{1}{2} (0, v)^{T}$ ）を確認する
$D_{μ} ⟨ Φ ⟩$ を計算する（ $\partial_{μ} ⟨ Φ ⟩ = 0$ なのでゲージ場の項だけ残る）
$∣ D_{μ} ⟨ Φ ⟩ ∣^{2}$ を展開し、ゲージ場の 2 次形式として整理する
荷電部分は $W^{\pm} = \frac{1}{2} (W^{1} \mp i W^{2})$ に直し、係数を $M_{W}^{2} W_{μ}^{+} W^{- μ}$ と比べて $M_{W}$ を読み取る
中性部分の $2 \times 2$ 質量行列を直交対角化し、固有値を $\frac{1}{2} M^{2}$ と比べて $M_{Z}$ と質量 0 の光子を得る。混合角から $cos θ_{W} = M_{W} / M_{Z}$ 、 $e = g sin θ_{W}$ を求める

例題

計量を $(+, -, -, -)$ とする。 $S U (2)_{L} \times U (1)_{Y}$ ゲージ理論で、ヒッグス 2 重項 $Φ$ （ $T^{a} = \frac{σ ^{a}}{2}$ 、超電荷 $Y = \frac{1}{2}$ ）の運動項を $(D_{μ} Φ)^{†} (D^{μ} Φ)$ 、共変微分を $D_{μ} = \partial_{μ} - i g T^{a} W_{μ}^{a} - i g^{'} Y B_{μ}$ 、真空期待値を $⟨ Φ ⟩ = \frac{1}{2} (0 v)$ とする。結合定数が $g^{'} = \frac{g}{3}$ のとき、 $W$ ボソンの質量 $M_{W}$ と $Z$ ボソンの質量 $M_{Z}$ を、 $g$ と $v$ を用いて順に求めよ。

例題の解答

【手順 1】流儀は問題文のとおりで、 $⟨ Φ ⟩ = \frac{1}{2} (0, v)^{T}$ 。

【手順 2】 $T^{a} W^{a} = \frac{1}{2} (W^{3} W^{1} + i W^{2} W^{1} - i W^{2} - W^{3})$ 、 $Y = \frac{1}{2}$ より
$D_{μ} ⟨ Φ ⟩ = - \frac{i}{2 2} (g (W_{μ}^{1} - i W_{μ}^{2}) v (- g W_{μ}^{3} + g^{'} B_{μ}) v)$

【手順 3】
$∣ D_{μ} ⟨ Φ ⟩ ∣^{2} = \frac{v ^{2}}{8} [g^{2} ((W_{μ}^{1})^{2} + (W_{μ}^{2})^{2}) + (g W_{μ}^{3} - g^{'} B_{μ})^{2}]$

【手順 4】 $(W^{1})^{2} + (W^{2})^{2} = 2 W^{+} W^{-}$ なので荷電部分は $\frac{g ^{2} v ^{2}}{4} W_{μ}^{+} W^{- μ}$ 。 $M_{W}^{2} = \frac{g ^{2} v ^{2}}{4}$ より $M_{W} = \frac{g v}{2}$ 。

【手順 5】中性部分の質量行列 $\frac{v ^{2}}{8} (g^{2} - g g^{'} - g g^{'} g^{'2})$ の 0 でない固有値は $\frac{v ^{2}}{8} (g^{2} + g^{'2})$ で、これが $\frac{1}{2} M_{Z}^{2}$ なので $M_{Z} = \frac{v}{2} g^{2} + g^{'2}$ 。 $g^{'} = \frac{g}{3}$ を代入すると
$M_{Z} = \frac{v}{2} g^{2} + \frac{g ^{2}}{3} = \frac{v}{2} \cdot \frac{2 g}{3} = \frac{g v}{3}$
（このとき $cos θ_{W} = M_{W} / M_{Z} = \frac{3}{2}$ 。）答えは $(\frac{g v}{2}, \frac{g v}{3})$ 。

答え: $(\frac{g v}{2}, \frac{g v}{3})$

よくある誤り

実ベクトル場の質量項の $\frac{1}{2}$ を忘れる誤り。中性部分の固有値 $\frac{v ^{2}}{8} (g^{2} + g^{'2})$ を $M_{Z}^{2}$ とみなして $M_{Z} = \frac{v}{2 2} g^{2} + g^{'2}$ とするが、実場では $\frac{1}{2} M_{Z}^{2} Z_{μ} Z^{μ}$ と比べるので $M_{Z} = \frac{v}{2} g^{2} + g^{'2}$
複素場 $W^{\pm}$ の質量項にも $\frac{1}{2}$ を付けてしまう誤り。 $\frac{g ^{2} v ^{2}}{4} W^{+} W^{-} = \frac{1}{2} M_{W}^{2} W^{+} W^{-}$ として $M_{W} = \frac{g v}{2}$ とするが、複素場の質量項は $M_{W}^{2} W_{μ}^{+} W^{- μ}$ なので $M_{W} = \frac{g v}{2}$ （ $W^{1}$ だけを見て $\frac{g ^{2} v ^{2}}{8} (W^{1})^{2} = \frac{1}{2} M_{W}^{2} (W^{1})^{2}$ としても同じ結果になる）
真空期待値の規格化を取り違える誤り。 $⟨ Φ ⟩ = (0, v)^{T}$ とすると $M_{W} = \frac{g v}{2}$ となり、 $v$ の意味が $2$ 倍ずれる。問題文の $⟨ Φ ⟩ = \frac{1}{2} (0, v)^{T}$ に合わせて $M_{W} = \frac{g v}{2}$ とする
質量の固有状態を混合角を使わずに $W^{3}$ , $B$ のままとしてしまう誤り。 $W^{3}$ の係数だけを見て $M_{Z} = \frac{g v}{2}$ とするが、 $W^{3}$ と $B$ は $- \frac{v ^{2}}{4} g g^{'} W^{3} B$ の交差項で混ざるので、対角化して $Z = cos θ_{W} W^{3} - sin θ_{W} B$ 、 $M_{Z} = \frac{g ^{2} + g ^{'2} v}{2} = \frac{M _{W}}{c o s θ _{W}}$ とする

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
計量の符号を $(+, -, -, -)$ 、自然単位系 $ℏ = c = 1$ とする。 $U (1)$ ゲージ場 $A_{μ}$ と、電荷 $2 e$ （ $e > 0$ は結合定数）をもつ複素スカラー場 $ϕ$ からなる理論
$L = - \frac{1}{4} F_{μν} F^{μν} + (D_{μ} ϕ)^{*} (D^{μ} ϕ) - V (ϕ), D_{μ} = \partial_{μ} - 2 i e A_{μ}$
を考える。ポテンシャル $V (ϕ)$ によって $U (1)$ 対称性が自発的に破れ、スカラー場が一定の真空期待値 $⟨ ϕ ⟩ = \frac{v}{2}$ （ $v > 0$ は実数の定数）をとるとする。
このとき運動項 $(D_{μ} ϕ)^{*} (D^{μ} ϕ)$ に $ϕ = ⟨ ϕ ⟩$ を代入して得られる $A_{μ}$ の 2 次の項を、ゲージボソンの質量項 $\frac{1}{2} M_{A}^{2} A_{μ} A^{μ}$ と見なす。ゲージボソンの質量 $M_{A}$ （ $M_{A} > 0$ ）を $e$ , $v$ を用いて表せ。

この技能を使う問題

難易度 3（大学院入試の専門科目の標準レベル）
ゲージ群 $S U (2)_{L} \times U (1)_{Y}$ の電弱理論を考える。計量は $(+, -, -, -)$ 、自然単位系 $ℏ = c = 1$ を用いる。ゲージ結合定数を $g, g^{'}$ とし、共変微分を
$D_{μ} = \partial_{μ} - i g T^{a} W_{μ}^{a} - i g^{'} Y B_{μ}$
とする。電荷は $Q = T^{3} + Y$ である。荷電ゲージボソンを $W_{μ}^{\pm} = (W_{μ}^{1} \mp i W_{μ}^{2}) / 2$ 、中性ゲージボソンを $Z_{μ} = cos θ_{W} W_{μ}^{3} - sin θ_{W} B_{μ}$ と定める。ここで $cos θ_{W} = g / g^{2} + g^{'2}$ である。質量項はそれぞれ $M_{W}^{2} W_{μ}^{+} W^{- μ}$ 、 $\frac{1}{2} M_{Z}^{2} Z_{μ} Z^{μ}$ の形で定義する。
スカラー場として、次の 3 つを導入する。
- $S U (2)$ 2 重項 $Φ$ 。超電荷は $Y = \frac{1}{2}$ 、運動項は $(D_{μ} Φ)^{†} (D^{μ} Φ)$ 、真空期待値は $⟨ Φ ⟩ = (0, v / 2)^{T}$ とする。
- 複素 3 重項 $Δ$ 。超電荷は $Y = 1$ で、 $T^{3} = diag (1, 0, - 1)$ とするスピン 1 表現の基底で成分を $(Δ^{++}, Δ^{+}, Δ^{0})^{T}$ と書く。運動項は $(D_{μ} Δ)^{†} (D^{μ} Δ)$ 、真空期待値は $⟨ Δ ⟩ = (0, 0, u / 2)^{T}$ とする。
- 実 3 重項 $ξ = (ξ^{1}, ξ^{2}, ξ^{3})^{T}$ 。超電荷は $Y = 0$ 、生成子は随伴表現 $(T^{a})_{b c} = - i ϵ_{ab c}$ 、運動項は $\frac{1}{2} (D_{μ} ξ)^{T} (D^{μ} ξ)$ 、真空期待値は $⟨ ξ ⟩ = (0, 0, w)^{T}$ とする。
ここで $v, u, w$ は正の実数である。木のレベルでのパラメータ
$ρ \equiv \frac{M _{W}^{2}}{M _{Z}^{2} cos ^{2} θ _{W}}$
を $v, u, w$ で表せ。

この技能の次に学べること

複数のスカラー多重項と ρ パラメータ（大学院物理ゲージ理論と素粒子の標準模型）
フェルミ結合定数とミューオン崩壊の幅（大学院物理ゲージ理論と素粒子の標準模型）