複数のスカラー多重項と ρ パラメータ

アイソスピン $T$ ・超電荷 $Y$ の多重項が真空期待値 $v_{i}$ をもつとき、 $M_{W}^{2} = \frac{g ^{2}}{4} \sum_{i} [T_{i} (T_{i} + 1) - Y_{i}^{2}] c_{i} v_{i}^{2}$ と $M_{Z}^{2}$ の和を（複素多重項と実多重項の因子 $c_{i}$ に注意して）作り、木のレベルの $ρ = \frac{M _{W}^{2}}{M _{Z}^{2} c o s ^{2} θ _{W}}$ を真空期待値で表せる

前提

ヒッグス機構とゲージボソンの質量（大学院物理ゲージ理論と素粒子の標準模型）

この技能までの道筋（153 技能）

算数中学高校大学大学院

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電力・電力量とジュール熱（高校物理電流と回路（知識））
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コンデンサーの静電エネルギー（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
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ガウスの法則（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
重積分と累次積分（大学数学微分積分）
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面積分と流束（大学数学ベクトル解析）
ガウスの法則による電場（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
ベクトル場の線積分（大学数学ベクトル解析）
電流がつくる磁場と磁場の合成（高校物理電磁気と交流）
アンペールの法則と重ね合わせ（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
抵抗の直列接続・並列接続（高校物理電流と回路（知識））
オームの法則と合成抵抗（高校物理電流と回路）
磁束と電磁誘導の法則（高校物理電磁気と交流）
磁束の積分と電磁誘導（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
マクスウェル方程式の微分形（大学物理電磁波と電磁場）
電磁ポテンシャルと場（大学物理電磁波と電磁場）
ゲージ変換とゲージ条件（大学物理電磁波と電磁場）
ヒッグス機構とゲージボソンの質量（大学院物理ゲージ理論と素粒子の標準模型）

説明

標準模型ではヒッグス場は二重項 1 つだけですが、二重項を増やしたり三重項などの別の多重項を加えたりした拡張模型では、複数のスカラー場が真空期待値をもちます。この技能では、各多重項の $(T_{i}, Y_{i})$ と真空期待値 $v_{i}$ から $W$ と $Z$ の質量を足し合わせて作り、木のレベルの $ρ = \frac{M _{W}^{2}}{M _{Z}^{2} cos ^{2} θ _{W}}$ を真空期待値で表します。 $ρ$ は実験で $1$ にきわめて近いことが知られているので、どの多重項がどれだけ大きな真空期待値をもてるかを制限するのに使います。

なぜそうしてよいのか

ここでは超電荷を $Q = T_{3} + Y$ （二重項で $Y = \frac{1}{2}$ ）と規格化し、共変微分を $D_{μ} = \partial_{μ} - i g T^{a} W_{μ}^{a} - i g^{'} Y B_{μ}$ とします。また $cos θ_{W}$ は結合定数で $cos θ_{W} = \frac{g}{g ^{2} + g ^{'2}}$ と定義します（二重項だけのときはこれが $M_{W} / M_{Z}$ に一致しますが、一般には一致しないので、 $ρ$ を考えるときは質量比で定義してはいけません）。各多重項の真空期待値は電荷 $0$ の成分 $∣ T_{i}, T_{3} = - Y_{i} ⟩$ に入ります（電荷を壊さないため）。複素多重項は運動項 $(D_{μ} ϕ)^{†} D^{μ} ϕ$ 、真空期待値 $⟨ ϕ^{0} ⟩ = v_{i} / 2$ 、実多重項（ $Y = 0$ で $T$ が整数）は運動項 $\frac{1}{2} (D_{μ} ϕ) \cdot (D^{μ} ϕ)$ 、真空期待値の大きさ $v_{i} / 2$ とします。

$W$ の質量は $T^{1} W^{1} + T^{2} W^{2} = \frac{1}{2} (T^{+} W^{+} + T^{-} W^{-})$ （ $T^{\pm} = T^{1} \pm i T^{2}$ , $W^{\pm} = (W^{1} \mp i W^{2}) / 2$ ）から出ます。昇降演算子の性質 $∥ T^{\pm} ∣ T, m ⟩ ∥^{2} = T (T + 1) - m (m \pm 1)$ を使うと、 $∥ T^{+} ∣ T, m ⟩ ∥^{2} + ∥ T^{-} ∣ T, m ⟩ ∥^{2} = 2 [T (T + 1) - m^{2}]$ です。 $T^{+}$ と $T^{-}$ の像は $T_{3}$ が異なり直交するので交差項は消え、複素多重項の運動項から $g^{2} [T (T + 1) - Y^{2}] ∣ ⟨ ϕ^{0} ⟩ ∣^{2} W_{μ}^{+} W^{- μ}$ が出ます（ $m = - Y$ より $m^{2} = Y^{2}$ ）。これを $M_{W}^{2} W^{+} W^{-}$ と比べれば $M_{W}^{2} = \frac{g ^{2}}{2} [T (T + 1) - Y^{2}] v^{2}$ で、実多重項は運動項の $\frac{1}{2}$ の分だけ半分になります。そこで $c_{i} = 2$ （複素）、 $c_{i} = 1$ （実）とおくと
$M_{W}^{2} = \frac{g ^{2}}{4} i \sum [T_{i} (T_{i} + 1) - Y_{i}^{2}] c_{i} v_{i}^{2}$
とまとまります。

$Z$ のほうは、電荷 $0$ の成分に作用すると $g T_{3} W^{3} + g^{'} Y B = T_{3} (g W^{3} - g^{'} B) = T_{3} g^{2} + g^{'2} Z$ （ $Y = - T_{3}$ を使った）となるので、複素多重項から $(g^{2} + g^{'2}) Y^{2} ∣ ⟨ ϕ^{0} ⟩ ∣^{2} Z_{μ} Z^{μ}$ が出て、 $\frac{1}{2} M_{Z}^{2} Z^{2}$ と比べて $M_{Z}^{2} = (g^{2} + g^{'2}) Y^{2} v^{2}$ です。実多重項は $Y = 0$ なので寄与しません。よって
$M_{Z}^{2} cos^{2} θ_{W} = \frac{g ^{2}}{4} i \sum 2 Y_{i}^{2} c_{i} v_{i}^{2}, ρ = \frac{\sum _{i} [ T _{i} ( T _{i} + 1 ) - Y _{i}^{2} ] c _{i} v _{i}^{2}}{\sum _{i} 2 Y _{i}^{2} c _{i} v _{i}^{2}}$
となります。二重項 $T = Y = \frac{1}{2}$ では $T (T + 1) - Y^{2} = \frac{1}{2} = 2 Y^{2}$ なので、二重項（何個あっても）だけなら $ρ = 1$ です。 $T (T + 1) = 3 Y^{2}$ を満たす多重項（二重項など）はどれも $ρ = 1$ を保ち、満たさない多重項が真空期待値をもつと $ρ$ が $1$ からずれます。

手順

真空期待値をもつ多重項をすべて挙げ、それぞれのアイソスピン $T_{i}$ 、超電荷 $Y_{i}$ （ $Q = T_{3} + Y$ の規格化）、複素か実か、真空期待値 $v_{i}$ の規格化（ $⟨ ϕ_{i}^{0} ⟩ = v_{i} / 2$ になっているか）を確認する。問題の規格化が違えば $v_{i}$ を読み替える
各多重項の因子を決める: 複素多重項は $c_{i} = 2$ 、実多重項（ $Y_{i} = 0$ ）は $c_{i} = 1$
$W$ の質量を作る: $M_{W}^{2} = \frac{g ^{2}}{4} \sum_{i} [T_{i} (T_{i} + 1) - Y_{i}^{2}] c_{i} v_{i}^{2}$
$Z$ の質量を作る: $M_{Z}^{2} cos^{2} θ_{W} = \frac{g ^{2}}{4} \sum_{i} 2 Y_{i}^{2} c_{i} v_{i}^{2}$ （ $cos θ_{W} = g / g^{2} + g^{'2}$ ）
比をとって $ρ = \frac{\sum _{i} [ T _{i} ( T _{i} + 1 ) - Y _{i}^{2} ] c _{i} v _{i}^{2}}{\sum _{i} 2 Y _{i}^{2} c _{i} v _{i}^{2}}$ を計算し、共通の因子を約分する

例題

電弱理論 $S U (2)_{L} \times U (1)_{Y}$ で、超電荷を $Q = T_{3} + Y$ と規格化し、共変微分を $D_{μ} = \partial_{μ} - i g T^{a} W_{μ}^{a} - i g^{'} Y B_{μ}$ 、 $cos θ_{W} = g / g^{2} + g^{'2}$ とする。スカラー場として、複素二重項 $Φ$ （ $T = \frac{1}{2}$ , $Y = \frac{1}{2}$ ）と複素三重項 $Δ$ （ $T = 1$ , $Y = 1$ ）があり、どちらも運動項は $(D_{μ} ϕ)^{†} D^{μ} ϕ$ で、電荷 $0$ の成分がそれぞれ $⟨ Φ^{0} ⟩ = v_{d} / 2$ 、 $⟨ Δ^{0} ⟩ = v_{t} / 2$ （ $v_{d}, v_{t} > 0$ ）の真空期待値をもつ。木のレベルの $ρ = \frac{M _{W}^{2}}{M _{Z}^{2} cos ^{2} θ _{W}}$ を $v_{d}, v_{t}$ で表せ。

例題の解答

手順 1: 二重項は $T = \frac{1}{2}, Y = \frac{1}{2}$ 、三重項は $T = 1, Y = 1$ で、どちらも複素多重項。真空期待値は $v / 2$ の形で与えられているのでそのまま使える（三重項の電荷 $0$ の成分は $T_{3} = - Y = - 1$ ）。

手順 2: どちらも複素なので $c = 2$ 。

手順 3: 二重項は $T (T + 1) - Y^{2} = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ 、三重項は $2 - 1 = 1$ 。よって
$M_{W}^{2} = \frac{g ^{2}}{4} [\frac{1}{2} \cdot 2 v_{d}^{2} + 1 \cdot 2 v_{t}^{2}] = \frac{g ^{2}}{4} (v_{d}^{2} + 2 v_{t}^{2}) .$

手順 4: $2 Y^{2}$ は二重項で $\frac{1}{2}$ 、三重項で $2$ 。よって
$M_{Z}^{2} cos^{2} θ_{W} = \frac{g ^{2}}{4} [\frac{1}{2} \cdot 2 v_{d}^{2} + 2 \cdot 2 v_{t}^{2}] = \frac{g ^{2}}{4} (v_{d}^{2} + 4 v_{t}^{2}) .$

手順 5: 比をとって $\frac{g ^{2}}{4}$ を約分すると
$ρ = \frac{v _{d}^{2} + 2 v _{t}^{2}}{v _{d}^{2} + 4 v _{t}^{2}} .$
$v_{t} \to 0$ で $ρ \to 1$ となり、三重項の真空期待値があると $ρ < 1$ になる。

答え: $\frac{v _{d}^{2} + 2 v _{t}^{2}}{v _{d}^{2} + 4 v _{t}^{2}}$

よくある誤り

$cos θ_{W}$ を $M_{W} / M_{Z}$ で定義してしまう誤り。そうすると定義から $ρ = 1$ になって意味を失う。正しくは $cos θ_{W} = g / g^{2} + g^{'2}$ と結合定数で定義し、 $ρ = \frac{M _{W}^{2} ( g ^{2} + g ^{'2} )}{M _{Z}^{2} g ^{2}}$ を計算する
実多重項にも複素多重項と同じ因子を使ってしまう誤り。実多重項は運動項が $\frac{1}{2} (D ϕ) \cdot (D ϕ)$ なので、同じ $v_{i} / 2$ の規格化なら $W$ 質量への寄与は半分（ $c_{i} = 1$ ）。たとえば実三重項（ $T = 1, Y = 0$ ）の寄与は $\frac{g ^{2}}{4} \cdot 2 \cdot 1 \cdot v^{2}$ で、 $\frac{g ^{2}}{4} \cdot 2 \cdot 2 \cdot v^{2}$ ではない
超電荷の規格化を取り違える誤り。 $Q = T_{3} + Y /2$ の流儀（二重項で $Y = 1$ ）の値をそのまま $T (T + 1) - Y^{2}$ に入れると、二重項で $\frac{3}{4} - 1 < 0$ のようなおかしな値になる。 $Q = T_{3} + Y$ の流儀に直してから（ $Y \to Y /2$ ）使う
$T (T + 1) - Y^{2}$ の $Y^{2}$ を、真空期待値をもつ成分ではない $T_{3}$ （たとえば最大の $T_{3} = T$ ）で置き換えてしまう誤り。真空期待値は電荷 $0$ の成分にあり、そこでは $T_{3} = - Y$ なので $T_{3}^{2} = Y^{2}$ を使う

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
ゲージ群 $S U (2)_{L} \times U (1)_{Y}$ の電弱理論を考える。ゲージ結合定数を $g$ , $g^{'}$ とし、共変微分を $D_{μ} = \partial_{μ} - i g T^{a} W_{μ}^{a} - i g^{'} Y B_{μ}$ 、電荷を $Q = T_{3} + Y$ 、ワインバーグ角を $cos θ_{W} = \frac{g}{g ^{2} + g ^{'2}}$ と定める。計量は $(+, -, -, -)$ とする。
スカラー場として次の 2 つの多重項だけがあるとする。
- 複素二重項 $Φ$ （ $T = \frac{1}{2}$ , $Y = \frac{1}{2}$ ）。運動項は $(D_{μ} Φ)^{†} (D^{μ} Φ)$ で、中性成分の真空期待値は $⟨ ϕ^{0} ⟩ = \frac{v}{2}$
- 実三重項 $ξ$ （ $T = 1$ , $Y = 0$ ）。運動項は $\frac{1}{2} (D_{μ} ξ)^{a} (D^{μ} ξ)^{a}$ で、中性成分（ $T_{3} = 0$ の成分）の真空期待値は $⟨ ξ^{0} ⟩ = u$
ここで $v > 0$ , $u > 0$ は実数の定数である。木のレベルで、パラメータ
$ρ = \frac{M _{W}^{2}}{M _{Z}^{2} cos ^{2} θ _{W}}$
を $v$ と $u$ で表せ。

この技能を使う問題

難易度 3（大学院入試の専門科目の標準レベル）
ゲージ群 $S U (2)_{L} \times U (1)_{Y}$ の電弱理論を考える。計量は $(+, -, -, -)$ 、自然単位系 $ℏ = c = 1$ を用いる。ゲージ結合定数を $g, g^{'}$ とし、共変微分を
$D_{μ} = \partial_{μ} - i g T^{a} W_{μ}^{a} - i g^{'} Y B_{μ}$
とする。電荷は $Q = T^{3} + Y$ である。荷電ゲージボソンを $W_{μ}^{\pm} = (W_{μ}^{1} \mp i W_{μ}^{2}) / 2$ 、中性ゲージボソンを $Z_{μ} = cos θ_{W} W_{μ}^{3} - sin θ_{W} B_{μ}$ と定める。ここで $cos θ_{W} = g / g^{2} + g^{'2}$ である。質量項はそれぞれ $M_{W}^{2} W_{μ}^{+} W^{- μ}$ 、 $\frac{1}{2} M_{Z}^{2} Z_{μ} Z^{μ}$ の形で定義する。
スカラー場として、次の 3 つを導入する。
- $S U (2)$ 2 重項 $Φ$ 。超電荷は $Y = \frac{1}{2}$ 、運動項は $(D_{μ} Φ)^{†} (D^{μ} Φ)$ 、真空期待値は $⟨ Φ ⟩ = (0, v / 2)^{T}$ とする。
- 複素 3 重項 $Δ$ 。超電荷は $Y = 1$ で、 $T^{3} = diag (1, 0, - 1)$ とするスピン 1 表現の基底で成分を $(Δ^{++}, Δ^{+}, Δ^{0})^{T}$ と書く。運動項は $(D_{μ} Δ)^{†} (D^{μ} Δ)$ 、真空期待値は $⟨ Δ ⟩ = (0, 0, u / 2)^{T}$ とする。
- 実 3 重項 $ξ = (ξ^{1}, ξ^{2}, ξ^{3})^{T}$ 。超電荷は $Y = 0$ 、生成子は随伴表現 $(T^{a})_{b c} = - i ϵ_{ab c}$ 、運動項は $\frac{1}{2} (D_{μ} ξ)^{T} (D^{μ} ξ)$ 、真空期待値は $⟨ ξ ⟩ = (0, 0, w)^{T}$ とする。
ここで $v, u, w$ は正の実数である。木のレベルでのパラメータ
$ρ \equiv \frac{M _{W}^{2}}{M _{Z}^{2} cos ^{2} θ _{W}}$
を $v, u, w$ で表せ。