磁束の積分と電磁誘導

位置によって変わる磁束密度を面で積分して磁束 $Φ$ を求め、 $E = - \frac{d Φ}{d t}$ から時間変化する電流や動くコイルの誘導起電力を求められる

前提

アンペールの法則と重ね合わせ（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
磁束と電磁誘導の法則（高校物理電磁気と交流）
重積分と累次積分（大学数学微分積分）

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算数中学高校大学大学院

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磁束と電磁誘導の法則（高校物理電磁気と交流）
重積分と累次積分（大学数学微分積分）

説明

磁束密度がコイルの面内で場所によって違うときは、 $Φ = B S$ が使えません。そこで面を細かい小片に分け、各小片を貫く磁束 $B d S$ を足し合わせる（面で積分する）ことで磁束 $Φ = \iint_{S} B \cdot n d S$ を求めます。磁束が時刻 $t$ の関数として求まれば、それを微分して誘導起電力 $E = - \frac{d Φ}{d t}$ が得られます。直線電流のそばに置いたコイルで、電流が時間変化する場合や、コイルが動く場合の誘導起電力を求めるときに使います。

なぜそうしてよいのか

$Φ = B S$ は「面を垂直に貫く磁束密度 × 面積」で、 $B$ が面全体で一定のときだけ使える式です。 $B$ が場所によって違うときは、面を十分小さな小片 $d S$ に分ければ、各小片の中では $B$ をほぼ一定とみなせるので、小片を貫く磁束は $B \cdot n d S$ （ $n$ は面の単位法線、 $B \cdot n$ は面に垂直な成分）です。これをすべて足して小片を細かくした極限が
$Φ = \iint_{S} B \cdot n d S$
で、重積分になります。たとえば無限に長い直線電流 $I$ のつくる磁場 $B = \frac{μ _{0} I}{2 π x}$ （ $x$ は導線からの距離）は $x$ だけで変わるので、導線と平行な辺をもつ長方形の面では、導線に平行な方向の長さ $a$ を先に掛けて、幅 $d x$ の細長い帯ごとに $B (x) a d x$ と足していけば 1 変数の積分になります。

ファラデーの法則 $V = - N \frac{ΔΦ}{Δ t}$ で $Δ t \to 0$ とすると、各瞬間の誘導起電力は $E = - \frac{d Φ}{d t}$ （ $N$ 巻きなら $N$ 倍）です。磁束は電流 $I (t)$ を通して時間に依存したり、コイルの位置（例えば導線との距離 $d (t)$ ）を通して時間に依存したりします。後者では合成関数の微分 $\frac{d Φ}{d t} = \frac{d Φ}{dd} \cdot \frac{dd}{d t}$ を使います。

符号は次のように約束します。コイルを回る向き（起電力を正とする向き）を決め、右ねじをその向きに回したときに進む向きを法線 $n$ にとります。この $n$ で計算した $Φ$ が増えると $E < 0$ 、つまり決めた向きと逆向きに起電力が生じ、増加を妨げる向きに電流が流れます。これはレンツの法則と同じ内容です。

手順

コイルを回る正の向きを決め、右ねじの法則で面の法線 $n$ の向きを決める。
面上の各点での $B \cdot n$ を、アンペールの法則などで位置の関数として書く（直線電流なら $\frac{μ _{0} I}{2 π x}$ ）。
面を $B$ が一定とみなせる小片（ $B$ が $x$ だけで変わるなら幅 $d x$ の帯）に分け、 $Φ = \iint_{S} B \cdot n d S$ を積分して時刻 $t$ の関数として求める。
$E = - \frac{d Φ}{d t}$ を計算する。電流 $I (t)$ や位置 $d (t)$ を通して時間に依存するときは合成関数の微分を使う。
符号から向きを読み、必要なら大きさ $∣ E ∣$ と、抵抗 $R$ に流れる電流 $\frac{∣ E ∣}{R}$ を求める。

例題

真空中の無限に長い直線導線に、時刻 $t$ で $I = k t$ （ $k > 0$ は定数）の電流が流れている。導線と同じ平面内に、導線に平行な辺の長さが $a$ 、垂直な辺の長さが $b$ の長方形の 1 巻きコイルがあり、導線に近い方の辺は導線から距離 $d$ の位置に固定されている。直線電流が距離 $x$ の点につくる磁束密度の大きさは $\frac{μ _{0} I}{2 π x}$ （ $μ_{0}$ は真空の透磁率）とする。コイルに生じる誘導起電力の大きさを、 $μ_{0}, k, a, b, d$ で表せ。

例題の解答

【手順 1】コイルの面の法線を、導線の磁場がコイルを貫く向きにとる（その向きに右ねじが進むようにコイルを回る向きを正とする）。

【手順 2】導線から距離 $x$ （ $d \leq x \leq d + b$ ）の点で、 $B \cdot n = \frac{μ _{0} I}{2 π x}$ 。

【手順 3】 $B$ は $x$ だけで変わるので、面を導線に平行な幅 $d x$ 、長さ $a$ の細長い帯に分ける。帯の面積は $a d x$ で
$Φ = \int_{d}^{d + b} \frac{μ _{0} I}{2 π x} a d x = \frac{μ _{0} I a}{2 π} [lo g x]_{d}^{d + b} = \frac{μ _{0} I a}{2 π} lo g \frac{d + b}{d}$
$I = k t$ を入れると $Φ (t) = \frac{μ _{0} k a}{2 π} lo g \frac{d + b}{d} \cdot t$ 。

【手順 4】 $E = - \frac{d Φ}{d t} = - \frac{μ _{0} k a}{2 π} lo g \frac{d + b}{d}$ 。

【手順 5】負なので、決めた正の向きとは逆向き（磁束の増加を妨げる向き）に起電力が生じる。大きさは
$∣ E ∣ = \frac{μ _{0} k a}{2 π} lo g \frac{d + b}{d}$

答え: $\frac{μ _{0} k a}{2 π} lo g \frac{d + b}{d}$

よくある誤り

$B$ が場所で変わるのに、コイルの中心などある 1 点の値を使って $Φ = B S$ としてしまう誤り。例題で中心の値 $\frac{μ _{0} I}{2 π ( d + b /2 )}$ に面積 $ab$ を掛けても、正しい $\frac{μ _{0} I a}{2 π} lo g \frac{d + b}{d}$ とは一致しない。場所で変わるときは $\iint_{S} B \cdot n d S$ と積分する。
積分の範囲を $0$ から $b$ にしてしまう誤り。 $x$ は導線からの距離なので、コイルが占める範囲は $d \leq x \leq d + b$ 。 $\int_{0}^{b} \frac{d x}{x}$ は発散し、意味のない式になる。
コイルが動く場合に、 $Φ$ を求める前に $d$ を定数とみなして時間微分してしまう誤り。導線との距離が $d (t)$ で変わるなら、 $Φ = \frac{μ _{0} I a}{2 π} {lo g (d + b) - lo g d}$ を合成関数として微分し、 $\frac{d Φ}{d t} = \frac{μ _{0} I a}{2 π} (\frac{1}{d + b} - \frac{1}{d}) \frac{dd}{d t}$ とする。
法線の向きと起電力の正の向きを別々に決めて符号を誤る誤り。起電力の正の向きに右ねじを回したとき進む向きを $n$ にとったときだけ $E = - \frac{d Φ}{d t}$ が成り立つ。 $n$ を逆にとると $Φ$ の符号が変わり、起電力の向きを逆に読んでしまう。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
真空中に十分に長い直線導線があり、時刻 $t$ における電流が $I (t) = k t$ （ $k$ は正の定数）で増えていく。この導線と同じ平面内に、1 辺の長さ $a$ の正方形の 1 巻きのコイルが固定されている。コイルの 2 辺は導線と平行で、導線に近い側の辺は導線から距離 $a$ 、遠い側の辺は距離 $2 a$ の位置にある。導線の電流が距離 $x$ の点につくる磁束密度の大きさは $B = \frac{μ _{0} I}{2 π x}$ （ $μ_{0}$ は真空の透磁率）である。コイルに生じる誘導起電力の大きさを、 $μ_{0}$ , $k$ , $a$ を用いて表せ。ただし、コイル自身を流れる電流がつくる磁場は無視する。
$I (t)$ $a$ $a$ $a$
左が直線導線、右が正方形のコイル（同じ平面内）

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

インダクタンスと磁場のエネルギー（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
マクスウェル方程式の微分形（大学物理電磁波と電磁場）