電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導）の問題

移動後の相互インダクタンス

半径 $a$ の円電流 $I$ が中心につくる磁束密度は、ビオ・サバールの法則より $\frac{{\mu }_{0}I}{2a}$ である。移動後、B の内部ではこの値で一様とみなせるので、B を貫く磁束は $\pi b^2\cdot \frac{{\mu }_{0}I}{2a}$ となり、移動後の相互インダクタンスは
$$M=\frac{{\mu }_0\pi b^2}{2a}$$
である（相反定理により、B の電流が A を貫く磁束も $M\times (\text{B の電流})$ で表される）。

磁束の保存

各輪について、ファラデーの法則とオームの法則より $RI=-\frac{d\Phi }{dt}$ が成り立つ。抵抗 $R=0$ なので $\frac{d\Phi }{dt}=0$、すなわち移動のあいだずっと、各輪を貫く磁束は一定に保たれる。B は A の導線を横切らずに動くので、磁束は途中で不連続に変わることはない。したがって移動後の状態は、移動後の相互インダクタンス $M$ だけで決まる。A, B の移動後の電流を $I_1,I_2$ とすると、はじめの磁束（A は $L_1{I}_0$、B は $0$）と等しいので
$$L_1{I}_1+M{I}_2=L_1{I}_0(1)$$
$$M{I}_1+L_2{I}_2=0(2)$$
$(2)$ より $I_2=-\frac{M}{L_2}{I}_1$。これを $(1)$ に代入して
$$L_1{I}_1-\frac{M^2}{L_2}{I}_1=L_1{I}_0\text{より}{I}_1=\frac{L_1{L}_2{I}_0}{L_1{L}_2-M^2}$$
（磁気エネルギーが正であることから $L_1{L}_2>M^2$ である。）

エネルギー

2 つの回路の磁気エネルギーは $U=\frac{1}{2}{L}_1{I}_1^2+M{I}_1{I}_2+\frac{1}{2}{L}_2{I}_2^2=\frac{1}{2}{\Phi }_1{I}_1+\frac{1}{2}{\Phi }_2{I}_2$ と書ける（${\Phi }_1=L_1{I}_1+M{I}_2$, ${\Phi }_2=M{I}_1+L_2{I}_2$）。移動後は ${\Phi }_1=L_1{I}_0$, ${\Phi }_2=0$ なので
$$U_{\text{後}}=\frac{1}{2}{L}_1{I}_0{I}_1=\frac{L_1^2{L}_2{I}_0^2}{2(L_1{L}_2-M^2)}$$
はじめは $U_{\text{前}}=\frac{1}{2}{L}_1{I}_0^2$ である。

抵抗が $0$ なのでジュール熱は発生せず、電源もない。運動エネルギーと放射も無視できるので、エネルギー保存則より外力のした仕事 $W$ は磁気エネルギーの増加に等しい。
$$W=U_{\text{後}}-U_{\text{前}}=\frac{1}{2}{L}_1{I}_0^2\left(\frac{L_1{L}_2}{L_1{L}_2-M^2}-1\right)=\frac{1}{2}{L}_1{I}_0^2\cdot \frac{M^2}{L_1{L}_2-M^2}$$
$M^2=\frac{{\mu }_0^2{\pi }^2{b}^4}{4a^2}$ を代入し、分母と分子に $4a^2$ をかけて
$$W=\frac{{\mu }_0^2{\pi }^2{b}^4{L}_1{I}_0^2}{2\left(4a^2{L}_1{L}_2-{\mu }_0^2{\pi }^2{b}^4\right)}$$
$W>0$ であり、B は A から押し返される向きの力を受けながら押し込まれることがわかる。

超伝導の輪では、各輪を貫く磁束が保存される。

移動後の相互インダクタンスは、A の中心の磁場 $B={\mu }_{0}I/(2a)$ が B の面積 $\pi b^2$ を貫くとして $M=\frac{{\mu }_0\pi b^2}{2a}$ である。

移動後の A, B の電流を $I_1,I_2$ とする。はじめ A の磁束は $L_1{I}_0$、B の磁束は $0$ だったので、磁束保存より

$L_1{I}_1+M{I}_2=L_1{I}_0$, $M{I}_1+L_2{I}_2=0$

これを解くと

$I_1=\frac{L_1{L}_2{I}_0}{L_1{L}_2-M^2}$, $I_2=-\frac{M{L}_1{I}_0}{L_1{L}_2-M^2}$

移動前の磁気エネルギーは $U_i=\frac{1}{2}{L}_1{I}_0^2$ である。

移動後の磁気エネルギーは

$U_f=\frac{1}{2}(L_1{I}_1^2+2M{I}_1{I}_2+L_2{I}_2^2)=\frac{1}{2}{L}_1{I}_0{I}_1=\frac{L_1^2{L}_2{I}_0^2}{2(L_1{L}_2-M^2)}$

ここで、磁束が $(L_1{I}_0,0)$ であることから $U_f=\frac{1}{2}({\Phi }_1{I}_1+{\Phi }_2{I}_2)=\frac{1}{2}{L}_1{I}_0{I}_1$ を用いた。

電源も抵抗もなく、運動エネルギーや放射も無視するので、外力の仕事 $W$ は磁気エネルギーの増加に等しい。

$W=U_f-U_i=\frac{1}{2}{L}_1{I}_0^2\frac{M^2}{L_1{L}_2-M^2}$

$M^2=\frac{{\mu }_0^2{\pi }^2{b}^4}{4a^2}$ を代入すると

$W=\frac{{\mu }_0^2{\pi }^2{b}^4{L}_1{I}_0^2}{2(4a^2{L}_1{L}_2-{\mu }_0^2{\pi }^2{b}^4)}$

これは正で、B が A から斥力を受けることに対応する。$b\ll a$ では $W\approx \frac{{\mu }_0^2{\pi }^2{b}^4{I}_0^2}{8a^2{L}_2}$ となり、B の磁束を $0$ に保つための遮蔽電流のエネルギーに一致する。