電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導）の問題

交線 $\mathrm{O}$ に垂直な断面で、$\mathrm{O}$ を原点、2 枚の導体を $x$ 軸の正の部分と $y$ 軸の正の部分とする座標をとる（導体は $x\geqq 0,y=0$ と $x=0,y\geqq 0$ の半平面で、それぞれ紙面に垂直に広がる）。点電荷 $q$ が点 $(x,y)$（$x>0,y>0$）にあるとき、直角の領域内の電場は、次の 3 つの鏡像電荷と実電荷がつくる電場に等しい。
- $(-x,y)$ に $-q$
- $(x,-y)$ に $-q$
- $(-x,-y)$ に $+q$

実際、この 4 つの電荷の配置は $x=0$ と $y=0$ の面に関して反対称なので、両方の導体面上で電位が $0$ になり、境界条件（接地）を満たす。静電場の一意性定理により、領域内の電場はこれで決まる。

点電荷が対角線上の点 $(s,s)$ にあるとき、点電荷が受ける力を求める。$k=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}$ とおく。
- $(-s,s)$ の $-q$ からの引力: 距離 $2s$、大きさ $\frac{k{q}^2}{4s^2}$、向き $-x$
- $(s,-s)$ の $-q$ からの引力: 大きさ $\frac{k{q}^2}{4s^2}$、向き $-y$
- $(-s,-s)$ の $+q$ からの斥力: 距離 $2\sqrt{2}s$、大きさ $\frac{k{q}^2}{8s^2}$、向き $\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1)$

よって力は対角線の方向を向き、$\mathrm{O}$ に向かう向きの成分の大きさは
$$F(s)=\sqrt{2}\cdot \frac{k{q}^2}{4s^2}-\frac{k{q}^2}{8s^2}=\frac{(2\sqrt{2}-1)k{q}^2}{8s^2}$$
である。

静電場は保存力の場なので（鏡像電荷も実電荷の位置に応じて動くが、仕事は電荷配置のエネルギーだけで決まり経路によらない）、対角線にそって $s=a$ から $s\to \infty$ まで動かす経路で計算してよい。$s$ が $ds$ 増えると移動距離は $\sqrt{2}ds$ なので、外力のする仕事は
$$W={\int }_a^{\infty }F(s)\sqrt{2}ds=\frac{\sqrt{2}(2\sqrt{2}-1)k{q}^2}{8}{\int }_a^{\infty }\frac{ds}{s^2}=\frac{(4-\sqrt{2})k{q}^2}{8a}$$

（別解: 系の静電エネルギーは $U=\frac{1}{2}q{\varphi }^{\prime }$ で、${\varphi }^{\prime }$ は点 $\mathrm{P}$ での鏡像電荷による電位 ${\varphi }^{\prime }=kq\left(-\frac{1}{2a}-\frac{1}{2a}+\frac{1}{2\sqrt{2}a}\right)$。鏡像電荷どうしの相互作用は実在しないので、因子 $\frac{1}{2}$ が付く。$W=0-U=\frac{(4-\sqrt{2})k{q}^2}{8a}$ となり一致する。）

したがって
$$W=\frac{(4-\sqrt{2})q^2}{32\pi {\epsilon }_{0}a}$$

鏡像法を使う。直線 O を $z$ 軸、2 枚の導体を $x=0$ と $y=0$ の面（$x>0,y>0$ の領域が対象）とし、P を $(a,a)$ とする。導体が接地されているので、鏡像電荷は
- $(-a,a)$ に $-q$
- $(a,-a)$ に $-q$
- $(-a,-a)$ に $+q$
の 3 つ。

点電荷 $q$ の位置での鏡像電荷による電位は、$k=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}$ として
$${\varphi }_{\mathrm{img}}(\mathrm{P})=kq\left(-\frac{1}{2a}-\frac{1}{2a}+\frac{1}{2\sqrt{2}a}\right)=-\frac{kq}{a}\left(1-\frac{\sqrt{2}}{4}\right)$$

実在する電荷は $q$ だけで、導体の電荷の応答を含む系の静電エネルギーは（鏡像法の通常の議論により）
$$U=\frac{1}{2}q{\varphi }_{\mathrm{img}}(\mathrm{P})=-\frac{k{q}^2}{2a}\left(1-\frac{\sqrt{2}}{4}\right)$$
電荷を無限遠まで運ぶと $U\to 0$（導体との距離が無限に大きくなり、力は 0 に近づく）。外力がする仕事は $0-U$ なので
$$W=\frac{k{q}^2}{2a}\left(1-\frac{\sqrt{2}}{4}\right)=\frac{q^2}{8\pi {\epsilon }_{0}a}\cdot \frac{4-\sqrt{2}}{4}=\frac{(4-\sqrt{2})q^2}{32\pi {\epsilon }_{0}a}$$

検算: 経路 $(s,s)$ を $s=a\to \infty$ にとり、力の対称性から対角方向の力の成分を積分する。点 $(s,s)$ では、各鏡像から受ける力の対角成分は $-\frac{k{q}^2}{(2s{)}^2}\cdot \sqrt{2}$（二つの $-q$ の合計、$-q$ は引力で対角方向に $\sqrt{2}/2\cdot 2$）と、$(-s,-s)$ の $+q$ からの斥力 $\frac{k{q}^2}{(2\sqrt{2}s{)}^2}$ の和になり、$F_{\parallel }=-\frac{k{q}^2}{4s^2}\left(\sqrt{2}-\frac{1}{2}\right)$。$W=-{\int }_a^{\infty }{F}_{\parallel }\sqrt{2}ds$（変位は $\sqrt{2}ds$）$=\frac{k{q}^2\sqrt{2}}{4a}\left(\sqrt{2}-\frac{1}{2}\right)=\frac{k{q}^2}{a}\left(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{8}\right)=\frac{k{q}^2}{2a}\left(1-\frac{\sqrt{2}}{4}\right)$ となり、エネルギーの方法の結果と一致する。