平面導体の鏡像法

接地された平面導体や直交する 2 平面の導体の前の点電荷について、鏡像電荷を置いて電位・誘導電荷・点電荷が受ける力や、遠ざけるのに要する仕事を求められる

前提

電場の線積分と電位差（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
電場の重ね合わせ（高校物理電場と電位・コンデンサー）
導体内部の電場・電位と静電遮蔽（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
広義積分（大学数学微分積分）

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電場の重ね合わせ（高校物理電場と電位・コンデンサー）
導体の静電誘導（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
電位・等電位面と電場の関係（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
導体内部の電場・電位と静電遮蔽（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
広義積分（大学数学微分積分）

説明

接地された（電位 $0$ の）平面導体の前に点電荷 $q$ を置くと、導体表面に誘導電荷が現れ、その分布は最初はわかりません。鏡像法では、導体を取り去り、平面に関して $q$ と鏡に映した位置に「鏡像電荷」 $- q$ を置くことで、導体の外側の電場・電位をそっくり再現します。これにより、導体の前の電位、導体表面の誘導電荷密度、点電荷が導体から受ける力、点電荷を遠ざけるのに要する仕事を、点電荷どうしの計算だけで求められます。直交する 2 枚の平面導体の場合も、鏡像を 3 個置けば同じように扱えます。

なぜそうしてよいのか

平面 $z = 0$ が接地された導体で、点 $(0, 0, d)$ （ $d > 0$ ）に点電荷 $q$ があるとします。導体の外側 $z > 0$ で知りたい電位 $V$ は、(i) $z > 0$ にある電荷は $q$ だけ、(ii) 導体表面 $z = 0$ で $V = 0$ 、(iii) 無限遠で $V \to 0$ 、という条件をみたします。ここで、導体を取り去って $(0, 0, - d)$ に $- q$ を置くと、2 つの点電荷による電位
$V = \frac{q}{4 π ε _{0}} (\frac{1}{x ^{2} + y ^{2} + ( z - d ) ^{2}} - \frac{1}{x ^{2} + y ^{2} + ( z + d ) ^{2}})$
は、 $z = 0$ では 2 つの距離が等しいので $V = 0$ となり、 $z > 0$ にある電荷は $q$ だけで、無限遠で $0$ です。つまり (i)〜(iii) をすべてみたします。

では、条件 (i)〜(iii) をみたす電位はただ 1 つに決まるのでしょうか。2 つあったとしてその差を $ϕ$ とすると、 $z > 0$ で $\nabla \cdot (\nabla ϕ) = 0$ （電荷の寄与が打ち消す）で、境界上と無限遠で $ϕ = 0$ です。 $\nabla \cdot (ϕ \nabla ϕ) = ∣\nabla ϕ ∣^{2} + ϕ \nabla \cdot (\nabla ϕ) = ∣\nabla ϕ ∣^{2}$ を $z > 0$ の領域で積分すると、左辺は境界での面積分になり $ϕ = 0$ から $0$ です。よって $\int ∣\nabla ϕ ∣^{2} d V = 0$ となり、 $\nabla ϕ = 0$ 、境界で $0$ だから $ϕ = 0$ です。したがって、鏡像電荷で作った電位が $z > 0$ での本当の電位そのものです（これを解の一意性といいます）。ただし成り立つのは導体の外側 $z > 0$ だけで、導体の内側 $z < 0$ では本当は $V = 0$ 、 $E = 0$ です。

電位がわかれば、残りは前提の技能で計算できます。導体表面のすぐ外の電場は表面に垂直で、ガウスの法則から表面電荷密度は $σ = ε_{0} E_{z}_{z = 0^{+}}$ です。点電荷 $q$ が受ける力は、誘導電荷がつくる電場から受ける力ですが、 $z > 0$ では誘導電荷の電場は鏡像電荷 $- q$ の電場と同じなので、 $q$ と $- q$ の間のクーロン力として求められます。直交する 2 平面（例えば $x = 0$ と $y = 0$ で、 $q$ が $(a, b, 0)$ ）なら、 $(- a, b, 0)$ に $- q$ 、 $(a, - b, 0)$ に $- q$ 、 $(- a, - b, 0)$ に $+ q$ を置くと、両方の平面上で電位が $0$ になります。

手順

導体の平面に関して点電荷 $q$ と対称な位置に鏡像電荷 $- q$ を置き、導体を取り去る（直交する 2 平面なら、それぞれの平面での鏡映とその両方の鏡映の位置に $- q, - q, + q$ の 3 個を置く）
導体の外側の電位を、実電荷と鏡像電荷がつくる電位の和として書き、導体の面で $V = 0$ になることを確かめる
求めたい量を計算する。点電荷が受ける力は、実電荷と鏡像電荷（2 平面なら 3 個すべて）の間のクーロン力の和として求める
誘導電荷が必要なら、導体表面のすぐ外の電場の法線成分 $E_{n}$ から $σ = ε_{0} E_{n}$ を求める（全誘導電荷は面積分で求める）
点電荷を遠ざける仕事が必要なら、各位置で受ける力に逆らう外力の仕事 $W = \int_{d}^{\infty} F (z) d z$ を広義積分で計算する

例題

真空中で、接地された無限に広い平面導体から距離 $d$ の位置に点電荷 $q$ （ $q > 0$ ）が固定されている。真空の誘電率を $ε_{0}$ とする。点電荷が平面導体から受ける力の大きさ $F$ を求めよ。

例題の解答

【手順 1】平面導体を $z = 0$ 、点電荷を $(0, 0, d)$ とする。導体を取り去り、平面について対称な位置 $(0, 0, - d)$ に鏡像電荷 $- q$ を置く。

【手順 2】 $z > 0$ の電位は
$V = \frac{q}{4 π ε _{0}} (\frac{1}{x ^{2} + y ^{2} + ( z - d ) ^{2}} - \frac{1}{x ^{2} + y ^{2} + ( z + d ) ^{2}})$
で、 $z = 0$ では 2 つの項が等しく $V = 0$ となり、接地された導体の条件をみたす。よって $z > 0$ では、誘導電荷の電場は鏡像電荷 $- q$ の電場と同じである。

【手順 3】点電荷 $q$ が受ける力は、鏡像電荷 $- q$ から受けるクーロン力に等しい。両者の距離は $2 d$ なので
$F = \frac{1}{4 π ε _{0}} \cdot \frac{q \cdot q}{( 2 d ) ^{2}} = \frac{q ^{2}}{16 π ε _{0} d ^{2}}$
向きは鏡像電荷の方向、つまり導体に引き寄せられる向きである。

答え: $\frac{q ^{2}}{16 π ε _{0} d ^{2}}$

よくある誤り

点電荷と鏡像電荷の距離を $d$ としてしまい、 $F = \frac{q ^{2}}{4 π ε _{0} d ^{2}}$ とする誤り。鏡像電荷は平面の反対側の距離 $d$ の所にあるので、距離は $2 d$ で、正しくは $F = \frac{q ^{2}}{16 π ε _{0} d ^{2}}$
点電荷を遠ざける仕事を、 $q$ と $- q$ の 2 点電荷系のエネルギー $\frac{q ^{2}}{4 π ε _{0} ( 2 d )} = \frac{q ^{2}}{8 π ε _{0} d}$ としてしまう誤り。点電荷を動かすと鏡像電荷も同時に動き、距離 $z$ での力は $\frac{q ^{2}}{16 π ε _{0} z ^{2}}$ なので、正しくは $W = \int_{d}^{\infty} \frac{q ^{2}}{16 π ε _{0} z ^{2}} d z = \frac{q ^{2}}{16 π ε _{0} d}$ （2 点電荷系の半分）
鏡像電荷による電位を導体の内側（ $z < 0$ ）にもあてはめてしまう誤り。鏡像電荷は外側の場を再現するための仮想的なもので、導体内部では実際には $V = 0$ 、 $E = 0$ である。鏡像電荷の位置に本当に電荷があるわけでもない
直交する 2 平面の導体で、鏡像を 2 個（ $- q$ を 2 個）だけ置いてしまう誤り。それでは各平面上で電位が $0$ にならない。 $q$ が $(a, b, 0)$ のとき、 $(- a, b, 0)$ と $(a, - b, 0)$ に $- q$ 、 $(- a, - b, 0)$ に $+ q$ の計 3 個を置く。このとき $q$ が受ける力の $x$ 成分は $- \frac{q ^{2}}{4 π ε _{0}} (\frac{1}{4 a ^{2}} - \frac{a}{4 ( a ^{2} + b ^{2} ) ^{3/2}})$ のように 3 個すべての寄与を足す

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
真空中に、接地された無限に広い平面導体がある（導体の電位は $0$ で、無限遠の電位も $0$ とする）。導体の表面から距離 $d$ （ $d > 0$ ）の点 P に点電荷 $q$ （ $q > 0$ ）を固定した。P から導体の表面に下ろした垂線の足を O とし、直線 OP 上で P に関して O と反対側にあり、 $OQ = 2 d$ となる点を Q とする。真空の誘電率を $ϵ_{0}$ とする。
導体の表面に誘導された電荷の影響も含めて、点 Q の電位 $V$ を $q$ , $d$ , $ϵ_{0}$ を用いて表せ。
$O$ $P$ $Q$ $q$ $d$ $2 d$ 接地された平面導体
直線 OP を含む断面

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

導体球の鏡像法（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））