電場の重ね合わせ

複数の点電荷がある点につくる電場を、それぞれの電場のベクトルの和として成分で計算し、合成電場の強さを求めたり、電場が $0$ になる条件から電荷の電気量を決めたりできる

前提

点電荷のつくる電場（高校物理電場と電位・コンデンサー）
ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）

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算数中学高校大学大学院

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ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）

説明

点電荷が 2 つ以上あるとき、ある点の電場は、それぞれの点電荷が単独でつくる電場をベクトルとして足し合わせたものになります。この技能を使うと、合成電場の強さと向きを成分計算で求められます。また、「この点で電場が $0$ になる」という条件から、未知の電荷の電気量を決めることもできます。正方形や正三角形の頂点に電荷を置いた配置や、2 つの電荷を結ぶ直線上の点などで使います。

なぜそうしてよいのか

電場 $E$ は、その点に置いた試験電荷 $q$ が受ける力を $q$ で割ったもの、 $E = \frac{F}{q}$ でした。クーロンの法則による 2 つの電荷の間の力は、ほかの電荷があっても変わりません。そのため、点 P に置いた $q$ は、電荷 $Q_{1}$ から力 $F_{1}$ を、電荷 $Q_{2}$ から力 $F_{2}$ を、それぞれ単独のときと同じように受けます。 $q$ が受ける力の合力は $F = F_{1} + F_{2} + \dots$ です。これを $q$ で割ると $E = \frac{F _{1}}{q} + \frac{F _{2}}{q} + \dots = E_{1} + E_{2} + \dots$ となります。つまり、各点電荷がつくる電場のベクトル和が合成電場です。

この和は、強さ（大きさ）どうしの和ではなく、向きを含めたベクトルの和です。向きがそろっていないベクトルは、そのままでは足せません。そこで座標軸を決め、各電場を $x$ 成分と $y$ 成分に分けます。成分ごとに足せば、ベクトルの和を計算できます。最後に、合成ベクトルの大きさを $E_{x}^{2} + E_{y}^{2}$ で求めます。電場が $0$ になる条件は、すべての成分が $0$ になることと同じです。

手順

座標軸（原点と $x$ 軸・ $y$ 軸の向き）を決め、各点電荷と電場を求める点 P の位置を座標で表す。
各点電荷について、P までの距離 $r_{i}$ を求め、電場の強さ $E_{i} = k \frac{∣ Q _{i} ∣}{r _{i}^{2}}$ を計算する。
各電場の向きを決める。正電荷なら電荷から P へ向かう向き（電荷から遠ざかる向き）、負電荷なら P から電荷へ向かう向き（電荷に近づく向き）である。
各電場を成分に分ける。向きの単位ベクトル（電荷から P への変位を $r_{i}$ で割ったもの、負電荷なら符号を逆にしたもの）に $E_{i}$ を掛ける。
成分ごとに足して、合成電場 $(E_{x}, E_{y})$ を求める。 $E_{x} = E_{1 x} + E_{2 x} + \dots$ 、 $E_{y} = E_{1 y} + E_{2 y} + \dots$
強さが必要なら $E = E_{x}^{2} + E_{y}^{2}$ を計算する。電場が $0$ になる条件を使うなら、 $E_{x} = 0$ かつ $E_{y} = 0$ とおいて未知の量を求める。

例題

$x y$ 平面上の点 A $(- a, 0)$ に電気量 $+ Q$ の点電荷、点 B $(a, 0)$ に電気量 $- Q$ の点電荷を固定する（ $Q > 0$ , $a > 0$ ）。クーロンの法則の比例定数を $k$ とする。点 P $(0, a)$ における合成電場の強さを、 $k$ , $Q$ , $a$ を用いて求めよ。

例題の解答

手順 1：座標は問題文で与えられている。A $(- a, 0)$ 、B $(a, 0)$ 、P $(0, a)$ である。

手順 2：A から P への変位は $(a, a)$ なので、 $AP = a^{2} + a^{2} = 2 a$ である。同様に、B から P への変位は $(- a, a)$ なので、 $BP = 2 a$ である。それぞれの電場の強さは $E_{A} = E_{B} = k \frac{Q}{( 2 a ) ^{2}} = \frac{k Q}{2 a ^{2}}$ となる。

手順 3： $+ Q$ による電場 $E_{A}$ は、A から遠ざかる向き、つまり変位 $(a, a)$ の向きである。 $- Q$ による電場 $E_{B}$ は、B に近づく向き、つまり P から B への変位 $(a, - a)$ の向きである。

手順 4：向きの単位ベクトルは、 $E_{A}$ が $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ 、 $E_{B}$ が $(\frac{1}{2}, - \frac{1}{2})$ である。よって成分は $E_{A} = (\frac{k Q}{2 2 a ^{2}}, \frac{k Q}{2 2 a ^{2}}), E_{B} = (\frac{k Q}{2 2 a ^{2}}, - \frac{k Q}{2 2 a ^{2}})$ となる。

手順 5：成分ごとに足すと、 $E_{x} = \frac{k Q}{2 2 a ^{2}} \times 2 = \frac{k Q}{2 a ^{2}}, E_{y} = 0$ である。

手順 6：合成電場の強さは $E = E_{x}^{2} + E_{y}^{2} = \frac{k Q}{2 a ^{2}} = \frac{2 k Q}{2 a ^{2}}$ である。向きは $x$ 軸の正の向きである。

答え: $\frac{2 k Q}{2 a ^{2}}$

よくある誤り

電場の強さどうしをそのまま足して、例題で $E = \frac{k Q}{2 a ^{2}} + \frac{k Q}{2 a ^{2}} = \frac{k Q}{a ^{2}}$ としてしまう誤り。正しくは、向きの違うベクトルなので成分に分けて足す。 $y$ 成分は打ち消し合い、 $x$ 成分だけが残るので $E = \frac{2 k Q}{2 a ^{2}}$ となる。
負電荷のつくる電場の向きを、電荷から遠ざかる向きにしてしまう誤り。正しくは、負電荷 $- Q$ の電場は電荷に近づく向きである。例題では、 $E_{B}$ は P から B への向き $(a, - a)$ の向きになる。
向きを決めるときに負号を使ったうえで、強さにも $k \frac{- Q}{r ^{2}}$ と負号を入れ、向きを二重に反転させてしまう誤り。正しくは、強さは $k \frac{∣ Q ∣}{r ^{2}}$ として正の値で計算し、符号は向きだけで表す。
成分に分けるときに単位ベクトルを使わず、 $E_{x} = E_{A}$ のように強さをそのまま $x$ 成分にしてしまう誤り。正しくは、軸となす角の $cos$ に当たる比を掛ける。例題では $E_{A x} = E_{A} \times \frac{a}{2 a} = \frac{E _{A}}{2}$ となる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

平面導体の鏡像法（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））