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電場と電位・コンデンサーの問題

難易度 2教科書の章末問題レベル高校物理電場と電位・コンデンサー

真空中に $x y$ 平面をとり、点 A $(- a, 0)$ と点 B $(a, 0)$ に、それぞれ電気量 $Q (Q > 0)$ の点電荷を固定した（ $a > 0$ ）。点 P $(0, a)$ における電場の強さを、 $k$ , $Q$ , $a$ を用いて表せ。ただし、 $k$ はクーロンの法則の比例定数とする。

A (- a, 0)

B (a, 0)

P (0, a)

x

y

O

Q

Q

この問題で使うもの

点電荷のつくる電場（説明と入口の問題）
電場の重ね合わせ（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（32 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

A, B それぞれの点電荷が P につくる電場を求め、ベクトルとして足し合わせる（重ね合わせの原理）。

ヒント 2

AP $=$ BP $= 2 a$ で、各電場の強さは $\frac{k Q}{2 a ^{2}}$ 。AP, BP は $x$ 軸と $4 5^{\circ}$ の角をなす。

ヒント 3

対称性から $x$ 成分は打ち消し合う。 $y$ 成分は各電場の $\frac{1}{2}$ 倍の和になる。

答えと解説

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\frac{2 k Q}{2 a ^{2}}

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解説を読む

各点電荷がつくる電場. AP の距離は $a^{2} + a^{2} = 2 a$ 、BP の距離も $2 a$ である。電気量 $Q$ の点電荷が距離 $r$ の点につくる電場の強さは $\frac{k Q}{r ^{2}}$ なので、A, B の点電荷が P につくる電場の強さはどちらも
$E_{1} = \frac{k Q}{( 2 a ) ^{2}} = \frac{k Q}{2 a ^{2}} .$
$Q > 0$ なので、向きはそれぞれ A→P、B→P の向き（点電荷から遠ざかる向き）である。

成分に分ける. A→P の向きの単位ベクトルは $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ 、B→P の向きの単位ベクトルは $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ である。電場は重ね合わせの原理によりベクトルとして足し合わせられるので、 $x$ 成分は打ち消し合い、 $y$ 成分は
$E_{y} = 2 \times E_{1} \times \frac{1}{2} = 2 \cdot \frac{k Q}{2 a ^{2}} = \frac{2 k Q}{2 a ^{2}} .$

よって P における電場は $y$ 軸の正の向きで、その強さは $\frac{2 k Q}{2 a ^{2}}$ である。

答え: $\frac{2 k Q}{2 a ^{2}}$

別解

P から A, B までの距離はどちらも $a^{2} + a^{2} = 2 a$ 。各点電荷がつくる電場の強さは $E_{1} = \frac{k Q}{( 2 a ) ^{2}} = \frac{k Q}{2 a ^{2}}$ 。

A がつくる電場は A から P へ向かう向き（ $(a, a)$ 方向、 $x$ 軸と 45°）、B がつくる電場は B から P へ向かう向き（ $(- a, a)$ 方向）。 $x$ 成分は対称性より打ち消し合い、 $y$ 成分は各々 $E_{1} cos 4 5^{\circ} = \frac{E _{1}}{2}$ 。

合成電場は $y$ 軸正の向きで、強さ $E = 2 \cdot \frac{k Q}{2 a ^{2}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{k Q}{2 a ^{2}} = \frac{2 k Q}{2 a ^{2}}$ 。

確認: $k = Q = a = 1$ のとき、各電場は $(1/2) (1/ 2, 1/ 2)$ なので和は $(0, 1/ 2) \approx (0, 0.707)$ 。 $\frac{2}{2} \approx 0.707$ で一致する。

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