電場と電位・コンデンサーの問題

クーロンの法則より、距離 $r$ だけ離れた電気量 $q_1$, $q_2$ の点電荷の間にはたらく静電気力の大きさは $k\frac{|q_1{q}_2|}{r^2}$ で、同符号なら斥力、異符号なら引力である。2 つの電荷から受ける力は、ベクトルとして合成する。

それぞれの力

• A（$+2q$）から受ける力: 大きさ $F_A=k\frac{2q\cdot q}{a^2}=\frac{2k{q}^2}{a^2}$、同符号なので斥力（A→C の向き）
• B（$-q$）から受ける力: 大きさ $F_B=k\frac{q\cdot q}{a^2}=\frac{k{q}^2}{a^2}$、異符号なので引力（C→B の向き）

成分に分けて合成する

A を原点、B を $x$ 軸上の点 $(a,0)$、C を $\left(\frac{a}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}a\right)$ とする座標をとる。

A→C の向きの単位ベクトルは $\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$、C→B の向きの単位ベクトルは $\left(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ なので、$F_0=\frac{k{q}^2}{a^2}$ とおくと
$${\vec{F}}_A=2F_0\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=F_0\left(1,\sqrt{3}\right)$$
$${\vec{F}}_B=F_0\left(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$
合力は
$$\vec{F}=F_0\left(\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$
その大きさは
$$F=F_0\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{3}{4}}=\sqrt{3}{F}_0=\frac{\sqrt{3}k{q}^2}{a^2}$$

（2 つの力のなす角は $120^{\circ }$ なので、余弦定理を用いて $F^2=F_A^2+F_B^2+2F_A{F}_B\cos 120^{\circ }=(4+1-2)F_0^2=3F_0^2$ と求めてもよい。）

C の電荷 $+q$ が A から受ける力: 同符号なので斥力。大きさ $F_A=\frac{k(2q)(q)}{a^2}=\frac{2k{q}^2}{a^2}$、向きは A から C に向かう向き(A から遠ざかる向き)。
C の電荷が B から受ける力: 異符号なので引力。大きさ $F_B=\frac{k(q)(q)}{a^2}=\frac{k{q}^2}{a^2}$、向きは C から B に向かう向き。
三角形の C での内角は $60^{\circ }$ (CA と CB のなす角)。${\vec{F}}_A$ は CA と逆向き、${\vec{F}}_B$ は CB の向きなので、2つの力のなす角は $180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$。
合力の大きさ: $F^2=F_A^2+F_B^2+2F_A{F}_B\cos 120^{\circ }={\left(\frac{k{q}^2}{a^2}\right)}^2\left(4+1-2\right)=3{\left(\frac{k{q}^2}{a^2}\right)}^2$。
よって $F=\sqrt{3}\frac{k{q}^2}{a^2}$。
検算: C を原点、CB を $x$ 軸正の向き、A を $(\frac{a}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}a)$ とすると、${\vec{F}}_B=\frac{k{q}^2}{a^2}(1,0)$、${\vec{F}}_A=\frac{2k{q}^2}{a^2}\left(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$。合力は $\frac{k{q}^2}{a^2}(0,-\sqrt{3})$ で、大きさ $\sqrt{3}\frac{k{q}^2}{a^2}$ となり一致する。