電場と電位・コンデンサーの問題

点電荷 $Q$ が距離 $r$ の点につくる電場の強さは $k\frac{|Q|}{r^2}$ で、向きは $Q>0$ なら電荷から遠ざかる向きである。複数の点電荷がつくる電場はベクトルとして重ね合わせる。

A, C の電荷が D につくる電場

AD $=$ CD $=a$ なので、どちらも強さは $\frac{kq}{a^2}$。A による電場は A→D の向き、C による電場は C→D の向きで、この 2 つは互いに垂直である（正方形の頂点 D の角は直角）。合成すると、強さは
$$\sqrt{2}\frac{kq}{a^2}$$
で、向きは 2 つの向きのちょうど真ん中、すなわち対角線 BD の延長方向（B→D の向き）である。

B の電荷が D につくる電場

BD $=\sqrt{2}a$ なので、強さは
$$\frac{kq}{(\sqrt{2}a{)}^2}=\frac{kq}{2a^2}$$
で、向きは B→D の向き。

A, B, C の電荷による電場の合計

すべて B→D の向きにそろうので、強さは
$$\left(\sqrt{2}+\frac{1}{2}\right)\frac{kq}{a^2}=\frac{2\sqrt{2}+1}{2}\cdot \frac{kq}{a^2}$$

O の電荷 $Q$ の条件

O は対角線 BD の中点なので OD $=\frac{\sqrt{2}}{2}a$、${\text{OD}}^2=\frac{a^2}{2}$。O の電荷が D につくる電場は O→D（= B→D）の向きを正として
$$\frac{kQ}{a^2/2}=\frac{2kQ}{a^2}$$
D の電場が $0$ になる条件は
$$\frac{2\sqrt{2}+1}{2}\cdot \frac{kq}{a^2}+\frac{2kQ}{a^2}=0$$
$$Q=-\frac{2\sqrt{2}+1}{4}q$$

O の電荷は負で、D の電場を D→O の向きに打ち消している。

頂点 D は A, C と隣り合い、B とは対角の位置にある。
A, C の電荷が D につくる電場: それぞれ強さ $\frac{kq}{a^2}$ で、D から遠ざかる向き(A から D、C から D の向き)。この2つは直交するので、合成は強さ $\sqrt{2}\frac{kq}{a^2}$ で、B から D に向かう向き(対角線 BD にそって D の外向き)。
B の電荷が D につくる電場: BD の距離は $\sqrt{2}a$ なので強さ $\frac{kq}{(\sqrt{2}a{)}^2}=\frac{kq}{2a^2}$、向きは B から D に向かう向き。
よって A, B, C による電場は、B から D に向かう向きに $\left(\sqrt{2}+\frac{1}{2}\right)\frac{kq}{a^2}$。
O に置いた電荷を $Q$ とする。OD の距離は $\frac{\sqrt{2}}{2}a$ なので、O の電荷による D での電場の強さは $\frac{k|Q|}{(a^2/2)}=\frac{2k|Q|}{a^2}$。これが上の電場を打ち消すには、D から O に向かう向き(B から D に向かう向きの逆)、つまり引力の向きでなければならないので $Q<0$。
つり合いの式: $\frac{2k|Q|}{a^2}=\left(\sqrt{2}+\frac{1}{2}\right)\frac{kq}{a^2}$ より $|Q|=\frac{2\sqrt{2}+1}{4}q$。
したがって $Q=-\frac{2\sqrt{2}+1}{4}q$。
検算: 数値で $q=1,a=1,k=1$ とすると、A, C による場は $\sqrt{2}\approx 1.414$、B による場は $0.5$ で合計 $1.914$ (B から D の向き)。$Q\approx -0.957$ による D での場の強さは $2\times 0.957=1.914$ で、向きは D から O (逆向き)。打ち消し合って0になる。