電場と電位・コンデンサーの問題

A から C までの距離を $x$（$0<x<3a$）とする。クーロンの法則より、電気量 $q_1$, $q_2$ の点電荷が距離 $r$ だけ離れているとき、静電気力の大きさは $k\frac{|q_1{q}_2|}{r^2}$ である。

C のつり合い（位置を決める）

C が A から受ける力と B から受ける力は、C が A, B の間にあるので互いに逆向きになる（$Q$ の符号によらない）。大きさが等しい条件は
$$k\frac{q|Q|}{x^2}=k\frac{4q|Q|}{(3a-x{)}^2}$$
$$(3a-x{)}^2=4x^2⟹3a-x=2x(3a-x>0,x>0)$$
$$x=a$$
よって AC $=a$、CB $=2a$。

A のつり合い（電気量を決める）

A は B から斥力（B から遠ざかる向き）を受ける。その大きさは
$$k\frac{q\cdot 4q}{(3a{)}^2}=\frac{4k{q}^2}{9a^2}$$
A が静止するには、C から A に、B の向き（C に近づく向き）の力、すなわち引力がはたらく必要がある。したがって $Q<0$ で、大きさの条件は
$$k\frac{q|Q|}{a^2}=\frac{4k{q}^2}{9a^2}⟹|Q|=\frac{4}{9}q$$
よって
$$Q=-\frac{4}{9}q$$

B のつり合い（確認）

B が A から受ける斥力は $\frac{4k{q}^2}{9a^2}$、C から受ける引力は $k\frac{4q\cdot \frac{4}{9}q}{(2a{)}^2}=\frac{4k{q}^2}{9a^2}$ で、つり合っている。

A から C までの距離を $x$（$0<x<3a$）とする。

(1) C のつり合い：A が C に及ぼす力と B が C に及ぼす力が逆向きで大きさが等しい。
$\frac{kqQ}{x^2}=\frac{k(4q)Q}{(3a-x{)}^2}$ より $(3a-x{)}^2=4x^2$。$0<x<3a$ なので $3a-x=2x$、$x=a$。つまり C は A から $a$、B から $2a$ の位置にある。

(2) A のつり合い：B は A と同符号（ともに正）なので、B が A に及ぼす力は A を B から遠ざける向き（反発）で、大きさは $\frac{k\cdot q\cdot 4q}{(3a{)}^2}=\frac{4k{q}^2}{9a^2}$。これをつり合わせるには C が A を C の側（B の側）へ引く力が必要なので、C は A と異符号、すなわち $Q<0$。大きさは
$\frac{kq|Q|}{a^2}=\frac{4k{q}^2}{9a^2}$ より $|Q|=\frac{4}{9}q$。よって $Q=-\frac{4}{9}q$。

(3) 確かめ：B のつり合い。A が B に及ぼす力は反発で大きさ $\frac{4k{q}^2}{9a^2}$（B を A から遠ざける向き）。C は B と異符号なので B を C の側（A の側）へ引き、大きさは $\frac{k\cdot 4q\cdot \frac{4}{9}q}{(2a{)}^2}=\frac{4k{q}^2}{9a^2}$。逆向きで等しく、つり合っている。