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電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導）の問題

難易度 2教科書の演習問題レベル大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導）

真空中に、中心 $O$ 、半径 $a$ （ $a > 0$ ）の導体球があり、接地されている（導体球の電位は無限遠と同じ $0$ に保たれている）。 $O$ からの距離が $3 a$ の点 $P$ に点電荷 $q$ （ $q > 0$ ）を固定した。導体球の表面のうち $P$ に最も近い点を $A$ とする（ $A$ は線分 $OP$ 上にある）。静電平衡の状態で、点 $A$ における導体球の表面電荷密度を、 $q$ , $a$ を用いて表せ。真空の誘電率を $ε_{0}$ とする。

O

a

3 a

q

接地された導体球と点電荷

q

この問題で使うもの

導体球の鏡像法（説明と入口の問題）
点電荷のつくる電場（説明と入口の問題）
電場の重ね合わせ（説明と入口の問題）
導体内部の電場・電位と静電遮蔽（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（95 技能）

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ヒント

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ヒント 1

接地された導体球の外の電場は、球の内部に置いた 1 つの鏡像電荷と $q$ がつくる電場で表せる。鏡像電荷の大きさと位置を求めよう。

ヒント 2

中心から $d$ の点電荷 $q$ に対し、鏡像電荷は $q^{'} = - \frac{a}{d} q$ で、中心から $\frac{a ^{2}}{d}$ の位置にある。導体表面では $σ = ε_{0} E_{n}$ （ $E_{n}$ は外向き法線成分）。

ヒント 3

$d = 3 a$ なので鏡像電荷は $- \frac{q}{3}$ 、位置は中心から $\frac{a}{3}$ 。点 A から $q$ までは $2 a$ 、鏡像電荷までは $\frac{2 a}{3}$ なので、2 つの電場を向きに注意して足し合わせる。

答えと解説

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- \frac{q}{4 π a ^{2}}

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解説を読む

鏡像電荷を求める

接地された導体球の外部の電場は、導体球を取り除き、線分 $OP$ 上の $O$ からの距離 $b$ の点に鏡像電荷 $q^{'}$ を置いたときの電場と一致する（球面上で電位が $0$ という境界条件を満たし、外部の電荷分布も同じなので、静電場の一意性定理により同じ解になる）。

$OP = d = 3 a$ とすると、球面上で電位が $0$ になる条件から
$q^{'} = - \frac{a}{d} q = - \frac{q}{3}, b = \frac{a ^{2}}{d} = \frac{a}{3}$
である（球面上の任意の点 $X$ について、 $△ OX Q^{'}$ と $△ OPX$ の相似から $X Q^{'} / XP = a / d$ が成り立つので、 $\frac{q}{4 π ε _{0} XP} + \frac{q ^{'}}{4 π ε _{0} X Q ^{'}} = 0$ となる）。

点 A の電場を求める

$O$ から $P$ への向きを正とする。点 $A$ は $O$ から距離 $a$ にあり、 $AP = 3 a - a = 2 a$ 、鏡像電荷までの距離は $a - \frac{a}{3} = \frac{2 a}{3}$ である。

- 点電荷 $q$ による電場： $P$ から遠ざかる向き（負の向き）で、
$E_{1} = - \frac{q}{4 π ε _{0} ( 2 a ) ^{2}} = - \frac{q}{16 π ε _{0} a ^{2}}$
- 鏡像電荷 $- \frac{q}{3}$ による電場：鏡像電荷に向かう向き（負の向き）で、
$E_{2} = - \frac{q /3}{4 π ε _{0} ( \frac{2 a}{3} ) ^{2}} = - \frac{q}{3} \cdot \frac{9}{4 a ^{2}} \cdot \frac{1}{4 π ε _{0}} = - \frac{3 q}{16 π ε _{0} a ^{2}}$

点 $A$ での外向き法線（正の向き）の電場成分は
$E_{n} = E_{1} + E_{2} = - \frac{4 q}{16 π ε _{0} a ^{2}} = - \frac{q}{4 π ε _{0} a ^{2}}$

表面電荷密度

導体表面の外側すぐの電場は表面に垂直で、ガウスの法則（表面をはさむ薄い円柱に適用し、導体内部の電場は $0$ ）から $E_{n} = \frac{σ}{ε _{0}}$ が成り立つ。よって
$σ = ε_{0} E_{n} = - \frac{q}{4 π a ^{2}}$

別解

接地導体球なので、鏡像法を使う。O から P までの距離を $d = 3 a$ とすると、鏡像電荷は O と P を結ぶ直線上、O から $a^{2} / d = a /3$ の位置にあり、大きさは $q^{'} = - q a / d = - q /3$ である。

O を原点、OP 方向を $x$ 軸（球面の外向き法線方向）とする。A は $x = a$ 、P は $x = 3 a$ 、鏡像電荷は $x = a /3$ にある。

A と P の距離は $2 a$ 、A と鏡像電荷の距離は $a - a /3 = 2 a /3$ である。

A での電場の $x$ 成分は次のようになる。
- 点電荷 $q$ による電場は、 $q$ から遠ざかる向き、つまり $- x$ 向きで、大きさは $\frac{q}{4 π ε _{0} ( 2 a ) ^{2}} = \frac{q}{16 π ε _{0} a ^{2}}$ 。
- 鏡像電荷 $- q /3$ による電場は、鏡像電荷に向かう向き、つまり $- x$ 向きで、大きさは $\frac{q /3}{4 π ε _{0} ( 2 a /3 ) ^{2}} = \frac{3 q}{16 π ε _{0} a ^{2}}$ 。

合計は $E_{x} = - \frac{4 q}{16 π ε _{0} a ^{2}} = - \frac{q}{4 π ε _{0} a ^{2}}$ である。

導体表面では $σ = ε_{0} E_{n}$ なので、 $σ = - \frac{q}{4 π a ^{2}}$ となる。

検算として、一般公式 $σ (θ) = - \frac{q ( d ^{2} - a ^{2} )}{4 π a ( d ^{2} + a ^{2} - 2 a d cos θ ) ^{3/2}}$ に $θ = 0$ , $d = 3 a$ を代入する。分子は $8 a^{2}$ 、分母の括弧の $3/2$ 乗は $(4 a^{2})^{3/2} = 8 a^{3}$ なので、同じく $- \frac{q}{4 π a ^{2}}$ になる。

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