導体球の鏡像法

接地導体球では鏡像電荷 $q^{'} = - \frac{a}{d} q$ を位置 $\frac{a ^{2}}{d}$ に置き、孤立導体球では中心に電荷を加えて全電荷の条件を満たし、点電荷が受ける力を求められる

前提

平面導体の鏡像法（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））

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平面導体の鏡像法（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））

説明

導体球の外に点電荷 $q$ があるとき、球面に誘導される電荷の分布は複雑ですが、球の内部の適切な位置に鏡像電荷を置くと、球の外側の電場・電位をそのまま再現できます。半径 $a$ の接地導体球の中心から距離 $d$ （ $d > a$ ）に $q$ があれば、中心から $q$ の方向へ距離 $\frac{a ^{2}}{d}$ の点に $q^{'} = - \frac{a}{d} q$ を置きます。接地されていない（孤立した）導体球では、さらに中心に電荷を加えて球の全電荷の条件を合わせます。これで点電荷が球から受ける力などを、点電荷どうしのクーロン力として求められます。

なぜそうしてよいのか

平面導体の鏡像法と同じく、球の外側で (i) 球の外の電荷は $q$ だけ、(ii) 球面上で電位が一定（接地なら $0$ ）、(iii) 無限遠で電位が $0$ 、をみたす電位を 1 つ見つければ、それが外側の本当の電位です（条件をみたす電位はただ 1 つしかない、という一意性）。そこで、球の中心 $O$ から $q$ の方向に距離 $b$ の点 $B$ に電荷 $q^{'}$ を置き、球面上のどの点 $P$ でも電位が $0$ になるように $b$ と $q^{'}$ を選びます。

$q$ の位置を $A$ （ $O A = d$ ）とし、 $b = \frac{a ^{2}}{d}$ にとると、 $\frac{O B}{O P} = \frac{a ^{2} / d}{a} = \frac{a}{d}$ 、 $\frac{O P}{O A} = \frac{a}{d}$ で、 $∠ P O B = ∠ A O P$ は共通なので、三角形 $O B P$ と $O P A$ は相似（相似比 $\frac{a}{d}$ ）です。よって球面上のすべての点 $P$ で $\frac{B P}{P A} = \frac{a}{d}$ となります。ここで $q^{'} = - \frac{a}{d} q$ とすると
$\frac{q}{P A} + \frac{q ^{'}}{B P} = \frac{q}{P A} - \frac{( a / d ) q}{( a / d ) P A} = 0$
となり、球面全体で電位が $0$ になります。 $b = \frac{a ^{2}}{d} < a$ なので鏡像電荷は球の内部にあり、条件 (i) も守られています。これが接地導体球の鏡像です。

孤立導体球では、球の全電荷が決まっていて（例えば $0$ や $Q$ ）、電位は $0$ とは限らない一定値です。球の外から見ると、球面上の誘導電荷の合計は球を囲む面のガウスの法則から鏡像電荷の合計と等しくなければなりません。接地の場合の鏡像 $q^{'}$ だけでは合計が $q^{'}$ なので、中心 $O$ に電荷 $Q - q^{'}$ を足して合計を $Q$ にします。中心の点電荷は球面上に一定の電位 $\frac{Q - q ^{'}}{4 π ε _{0} a}$ を加えるだけなので、球面が等電位であることは崩れません。

手順

球の中心 $O$ から点電荷 $q$ までの距離 $d$ と球の半径 $a$ を確かめ（ $d > a$ ）、 $q$ の方向に中心から距離 $\frac{a ^{2}}{d}$ の点に鏡像電荷 $q^{'} = - \frac{a}{d} q$ を置く
球が孤立していれば、球の全電荷 $Q$ （帯電していなければ $Q = 0$ ）に合わせて、中心に電荷 $Q - q^{'} = Q + \frac{a}{d} q$ を加える。接地なら加えない
点電荷 $q$ と各鏡像電荷の距離を求める。 $q^{'}$ までは $d - \frac{a ^{2}}{d} = \frac{d ^{2} - a ^{2}}{d}$ 、中心の電荷までは $d$
点電荷 $q$ が受ける力を、各鏡像電荷とのクーロン力の和（すべて同一直線上なので符号付きの和）として計算する

例題

真空中に、接地された半径 $a$ の導体球がある。球の中心から距離 $d$ （ $d > a$ ）の点に点電荷 $q$ （ $q > 0$ ）を固定する。真空の誘電率を $ε_{0}$ とする。点電荷が導体球から受ける力の大きさ $F$ を $q, a, d, ε_{0}$ で表せ。

例題の解答

【手順 1】中心 $O$ から $q$ の方向へ距離 $\frac{a ^{2}}{d}$ の点に、鏡像電荷 $q^{'} = - \frac{a}{d} q$ を置く。これで球面上の電位は $0$ になり、球の外側の電場は $q$ と $q^{'}$ のつくる電場に等しい。

【手順 2】球は接地されているので、中心に電荷は加えない。

【手順 3】 $q$ と $q^{'}$ の距離は
$d - \frac{a ^{2}}{d} = \frac{d ^{2} - a ^{2}}{d}$

【手順 4】 $q$ と $q^{'}$ は異符号なので引力で、その大きさは
$F = \frac{1}{4 π ε _{0}} \cdot \frac{q \cdot \frac{a}{d} q}{( \frac{d ^{2} - a ^{2}}{d} ) ^{2}} = \frac{q ^{2}}{4 π ε _{0}} \cdot \frac{a}{d} \cdot \frac{d ^{2}}{( d ^{2} - a ^{2} ) ^{2}} = \frac{q ^{2} a d}{4 π ε _{0} ( d ^{2} - a ^{2} ) ^{2}}$
向きは球の中心に向かう向きである。

答え: $\frac{q ^{2} a d}{4 π ε _{0} ( d ^{2} - a ^{2} ) ^{2}}$

よくある誤り

平面の場合と同じく鏡像電荷を $- q$ にしたり、球面について折り返した位置（中心から $2 a - d$ など）に置いたりしてしまう誤り。球面上で電位を $0$ にするには、大きさ $\frac{a}{d} q$ の $q^{'} = - \frac{a}{d} q$ を中心から $\frac{a ^{2}}{d}$ の点に置く必要がある
$q$ と鏡像電荷の距離を中心からの距離 $\frac{a ^{2}}{d}$ や $d$ と取り違える誤り。両者は同じ側にあるので距離は $d - \frac{a ^{2}}{d} = \frac{d ^{2} - a ^{2}}{d}$ である
孤立した帯電していない導体球に、接地の場合と同じ鏡像 $q^{'}$ だけを置いてしまう誤り。それでは球の全電荷が $q^{'} \neq = 0$ になる。中心に $- q^{'} = \frac{a}{d} q$ を加え、力は $F = \frac{q ^{2}}{4 π ε _{0}} (\frac{a d}{( d ^{2} - a ^{2} ) ^{2}} - \frac{a}{d ^{3}})$ （引力）となる
鏡像電荷による電位を球の内部にもあてはめてしまう誤り。鏡像電荷は球の外側の場を再現するための仮想的な電荷で、導体内部では実際には電場は $0$ 、電位は球面と同じ一定値である

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
真空中に、中心 O、半径 $a$ （ $a > 0$ ）の導体球があり、接地されている（導体球の電位は無限遠と同じ $0$ に保たれている）。O からの距離が $2 a$ の点 P に点電荷 $q$ （ $q > 0$ ）を固定した。直線 OP 上で、O に関して P と反対側にあり $OR = 2 a$ となる点を R とする。真空の誘電率を $ϵ_{0}$ とし、電位の基準は無限遠にとる。
導体球の表面に誘導された電荷の影響も含めて、点 R の電位 $V$ を $q$ , $a$ , $ϵ_{0}$ を用いて表せ。
$O$ $P$ $R$ $a$ $q$ $2 a$ $2 a$

導体球の鏡像法

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

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