電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導）の問題

真空中に、接地された無限に広い平面導体がある。導体の表面から距離 $h$（$h>0$）の点 P に点電荷 $q$（$q>0$）を固定した。P から導体の表面に下ろした垂線の足を O とし、導体の表面上で O から距離 $h$ の点を A とする。点 A で導体の表面に誘導される電荷の面密度の大きさを、$q$, $h$ を用いて表せ。ただし、導体の表面より上側（点電荷のある側）は真空で、系は静電的なつり合いの状態にあるとする。

真空中に、大きさ $E_0$（$E_0>0$）の一様な電場がある。この中に、中心 O、半径 $a$（$a>0$）の一様な誘電体の球（比誘電率 ${\epsilon }_{\mathrm{r}}=4$）を置いた。誘電体は線形・等方的で、真電荷をもたない。十分に時間がたって静電的なつり合いの状態になったとき、球の表面上の点 P のすぐ外側（真空側）での電場の大きさを、$E_0$ を用いて表せ。ただし、点 P は、O から P へ向かう向きと、もとの一様な電場の向きとのなす角が $60^{\circ }$ となる点である。また、球から十分に遠い点では、電場はもとの一様な電場に一致するものとする。

真空中に、中心 $\mathrm{O}$、半径 $R$ の球がある。この球の内部から、中心 $\mathrm{C}$、半径 $b$ の球形の部分をくりぬいて空洞にした。ただし $\mathrm{OC}=d$ であり、$0<b<d$、$d+b<R$ とする（空洞は球の内部にあり、点 $\mathrm{O}$ は空洞の外にある）。空洞を除いた部分には、一様な体積密度 $\rho$（$\rho >0$）で電荷が分布しており、空洞の中は真空である。真空の誘電率を ${\epsilon }_0$ とする。点 $\mathrm{O}$ と点 $\mathrm{C}$ の電位差 $\varphi (\mathrm{O})-\varphi (\mathrm{C})$ を、$\rho ,b,d,{\epsilon }_0$ を用いて表せ。

真空中に、半径 $a$（$a>0$）の十分に長い円柱形の導体がある。この導体には、中心軸と平行な、半径 $\frac{a}{3}$ の円柱形の空洞があけられている。導体の中心軸を O、空洞の中心軸を O${}^{\prime }$ とすると、O と O${}^{\prime }$ の距離は $\frac{a}{2}$ である（空洞は導体の内部に完全に含まれる）。導体の部分（空洞を除いた部分）には、中心軸と平行な向きに、一様な電流密度で全電流 $I$（$I>0$）が流れている。空洞の中心軸 O${}^{\prime }$ 上での磁束密度の大きさを、真空の透磁率 ${\mu }_0$, $I$, $a$ を用いて表せ。ただし、導体の透磁率は ${\mu }_0$ とし、円柱の端の影響は無視する。

真空中に、中心 $\mathrm{O}$、半径 $a$（$a>0$）の導体球があり、接地されている（導体球の電位は無限遠と同じ $0$ に保たれている）。$\mathrm{O}$ からの距離が $3a$ の点 $\mathrm{P}$ に点電荷 $q$（$q>0$）を固定した。導体球の表面のうち $\mathrm{P}$ に最も近い点を $\mathrm{A}$ とする（$\mathrm{A}$ は線分 $\mathrm{OP}$ 上にある）。静電平衡の状態で、点 $\mathrm{A}$ における導体球の表面電荷密度を、$q$, $a$ を用いて表せ。真空の誘電率を ${\epsilon }_0$ とする。