電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導）の問題

真空中に、中心 O、半径 $a$（$a>0$）の導体球がある。この導体球は孤立しており（接地されておらず）、全電荷は $0$ である。中心 O から距離 $2a$ の点 P に点電荷 $q$（$q>0$）を固定した。点電荷 $q$ が導体球から受ける静電気力の大きさを、真空の誘電率 ${\epsilon }_0$, $q$, $a$ を用いて表せ。ただし、系は静電的なつり合いの状態にあるとする。

真空中に一様な磁束密度 $B_0$（$B_0>0$）の静磁場がある。この中に、半径 $a$（$a>0$）の無限に長い円柱を、中心軸が磁場の向きに垂直になるように置く。円柱は比透磁率 ${\mu }_r$（${\mu }_r>0$ の定数）の一様・等方的な線形磁性体でできていて、伝導電流は流れていない。円柱を置いても、円柱から十分に遠い所の磁場は一様な磁束密度 $B_0$ のままであるとする。真空の透磁率を ${\mu }_0$ として、円柱の内部の磁束密度の大きさを、$B_0,{\mu }_r$ を用いて表せ。ただし、円柱の内部の磁場は一様になることを用いてよい。

真空中に、中心 $\mathrm{O}$、半径 $R$ の球がある。この球の内部から、中心 $\mathrm{C}$、半径 $b$ の球形の部分をくりぬいて空洞にした。ただし $\mathrm{OC}=d$ であり、$0<b<d$、$d+b<R$ とする（空洞は球の内部にあり、点 $\mathrm{O}$ は空洞の外にある）。空洞を除いた部分には、一様な体積密度 $\rho$（$\rho >0$）で電荷が分布しており、空洞の中は真空である。真空の誘電率を ${\epsilon }_0$ とする。点 $\mathrm{O}$ と点 $\mathrm{C}$ の電位差 $\varphi (\mathrm{O})-\varphi (\mathrm{C})$ を、$\rho ,b,d,{\epsilon }_0$ を用いて表せ。

真空中に、半径 $a$（$a>0$）の十分に長い円柱形の導体がある。この導体には、中心軸と平行な、半径 $\frac{a}{3}$ の円柱形の空洞があけられている。導体の中心軸を O、空洞の中心軸を O${}^{\prime }$ とすると、O と O${}^{\prime }$ の距離は $\frac{a}{2}$ である（空洞は導体の内部に完全に含まれる）。導体の部分（空洞を除いた部分）には、中心軸と平行な向きに、一様な電流密度で全電流 $I$（$I>0$）が流れている。空洞の中心軸 O${}^{\prime }$ 上での磁束密度の大きさを、真空の透磁率 ${\mu }_0$, $I$, $a$ を用いて表せ。ただし、導体の透磁率は ${\mu }_0$ とし、円柱の端の影響は無視する。

真空中に、中心 O、半径 $a$（$a>0$）の球の内部にだけ電荷が分布している。中心 O からの距離を $r$ とすると、電荷密度は
$$\rho (r)={\rho }_0\left(1-\frac{r}{a}\right)(0\leqq r\leqq a)$$
であり、$r>a$ には電荷はない（${\rho }_0>0$ は定数）。球の内部も外部も誘電率は真空の誘電率 ${\epsilon }_0$ とし、電荷は静止しているものとする。この電荷分布がもつ静電エネルギー $W$（電場のエネルギー $W=\frac{{\epsilon }_0}{2}\int |\mathbf{E}{|}^{2}dV$ を全空間で積分したもの）を、${\rho }_0$, $a$, ${\epsilon }_0$ を用いて表せ。