誘電体と電束密度・分極電荷

十分に広い 2 枚の平行な極板 A, B のあいだが、誘電率 $\epsilon =4{\epsilon }_0$ の一様な誘電体ですき間なく満たされている（${\epsilon }_0$ は真空の誘電率）。極板 A には面密度 $+\sigma$、極板 B には面密度 $-\sigma$ の真電荷が一様に分布している（$\sigma >0$）。誘電体の表面のうち極板 A に接する面に現れる分極電荷の面密度の大きさを、$\sigma$ を用いて表せ。

半径 $a$（$a>0$）の導体球と、それと中心を共有する内半径 $3a$ の薄い導体球殻からなる球形コンデンサーがある。導体球と導体球殻の間 $a<r<3a$（$r$ は中心からの距離）は、誘電率が
$$\epsilon (r)={\epsilon }_0\frac{r}{a}$$
で表される等方的な線形誘電体で満たされている。ここで ${\epsilon }_0$ は真空の誘電率である。SI 単位系を用いる。

このコンデンサーの電気容量を ${\epsilon }_0,a$ を用いて表せ。

真空中に、極板の面積 $S$、極板間隔 $d$ の平行板コンデンサーがある。下側の極板に接して、極板と同じ形で厚さ $\frac{d}{2}$ の一様な誘電体の板（比誘電率 ${\epsilon }_{\mathrm{r}}=4$）を、極板と平行に入れた。残りの厚さ $\frac{d}{2}$ の部分は真空である。このコンデンサーの上側の極板を正、下側の極板を負として、極板間に一定の電圧 $V$（$V>0$）を加えた。誘電体の上側の表面（真空と接する面）に現れる分極電荷の面密度の大きさを、真空の誘電率 ${\epsilon }_0$, $V$, $d$ を用いて表せ。ただし、極板の端の効果は無視し、極板間の電場は極板に垂直で、各領域で一様であるとする。また、誘電体は線形で等方的とする。

真空中に、面積 $S$ の 2 枚の極板を間隔 $d$ で平行に置いた平行板コンデンサーがある。極板の間に、厚さ $t$（$0<t<d$）、比誘電率 ${\epsilon }_r$（${\epsilon }_r>1$）の一様で等方的な線形誘電体の板を、極板と平行に、極板と同じ面積で挿入した。誘電体の板と極板の間のすき間は真空である。極板の間に電池をつないで電位差 $V$（$V>0$）を保つ。真空の誘電率を ${\epsilon }_0$ とし、極板の端の効果は無視して、電場は極板に垂直で各領域で一様とする。このとき、誘電体の板の表面（極板に平行な面）に現れる分極電荷の面密度の大きさを、${\epsilon }_0,{\epsilon }_r,V,d,t$ を用いて表せ。

真空中に、大きさ $E_0$（$E_0>0$）の一様な電場がある。この中に、中心 O、半径 $a$（$a>0$）の一様な誘電体の球（比誘電率 ${\epsilon }_{\mathrm{r}}=4$）を置いた。誘電体は線形・等方的で、真電荷をもたない。十分に時間がたって静電的なつり合いの状態になったとき、球の表面上の点 P のすぐ外側（真空側）での電場の大きさを、$E_0$ を用いて表せ。ただし、点 P は、O から P へ向かう向きと、もとの一様な電場の向きとのなす角が $60^{\circ }$ となる点である。また、球から十分に遠い点では、電場はもとの一様な電場に一致するものとする。