電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導）の問題

真空中に、面積 $S$ の 2 枚の極板を間隔 $d$ で平行に置いた平行板コンデンサーがある。極板の間に、厚さ $t$（$0<t<d$）、比誘電率 ${\epsilon }_r$（${\epsilon }_r>1$）の一様で等方的な線形誘電体の板を、極板と平行に、極板と同じ面積で挿入した。誘電体の板と極板の間のすき間は真空である。極板の間に電池をつないで電位差 $V$（$V>0$）を保つ。真空の誘電率を ${\epsilon }_0$ とし、極板の端の効果は無視して、電場は極板に垂直で各領域で一様とする。このとき、誘電体の板の表面（極板に平行な面）に現れる分極電荷の面密度の大きさを、${\epsilon }_0,{\epsilon }_r,V,d,t$ を用いて表せ。

真空中に、極板の面積 $S$、極板間隔 $d$ の平行板コンデンサーがある。下側の極板に接して、極板と同じ形で厚さ $\frac{d}{2}$ の一様な誘電体の板（比誘電率 ${\epsilon }_{\mathrm{r}}=4$）を、極板と平行に入れた。残りの厚さ $\frac{d}{2}$ の部分は真空である。このコンデンサーの上側の極板を正、下側の極板を負として、極板間に一定の電圧 $V$（$V>0$）を加えた。誘電体の上側の表面（真空と接する面）に現れる分極電荷の面密度の大きさを、真空の誘電率 ${\epsilon }_0$, $V$, $d$ を用いて表せ。ただし、極板の端の効果は無視し、極板間の電場は極板に垂直で、各領域で一様であるとする。また、誘電体は線形で等方的とする。

真空中に、中心 O、半径 $R$（$R>0$）の薄い導体球殻があり、電荷 $Q$ が球殻の表面に一様に分布している。ほかに電荷はない。真空の誘電率を ${ϵ}_0$ とし、電場のエネルギー密度は $u=\frac{{ϵ}_0}{2}|\mathbf{E}{|}^2$ で与えられるものとする。

中心 O からの距離 $r$ が $R<r<2R$ を満たす領域（球殻の外側で、半径 $2R$ の球面の内側）の電場がもつエネルギー $W$ を、$Q$, $R$, ${ϵ}_0$ を用いて表せ。

真空中に、半径 $a$ の十分に長い円柱形の導線がまっすぐ置かれ、その中心軸に平行に一定の電流 $I$ が流れている。電流は導線の断面に一様に分布している。中心軸からの距離が $\frac{a}{3}$ の点 P（導線の内部）における磁束密度の大きさを、アンペールの法則 $\oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}={\mu }_0{I}_{\mathrm{in}}$ を用いて、${\mu }_0$, $I$, $a$ で表せ。ただし、${\mu }_0$ は真空の透磁率で、導線の内部の透磁率も ${\mu }_0$ とする。

真空中に、半径 $a$（$a>0$）の無限に長い円柱があり、その内部にだけ電荷が分布している。中心軸からの距離を $s$ とすると、電荷密度は
$$\rho (s)={\rho }_0\frac{s}{a}(0\leqq s\leqq a)$$
である（${\rho }_0>0$ は定数）。円柱の外部に電荷はない。真空の誘電率を ${ϵ}_0$ とする。

円柱の内部で中心軸からの距離が $r$（$0<r<a$）の点 P における電場の大きさ $E$ を、${\rho }_0$, $a$, $r$, ${ϵ}_0$ を用いて表せ。