電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導）の問題

真空中に、面積 $S$ の 2 枚の極板を間隔 $d$ で平行に置いた平行板コンデンサーがある。極板の間に、厚さ $t$（$0<t<d$）、比誘電率 ${\epsilon }_r$（${\epsilon }_r>1$）の一様で等方的な線形誘電体の板を、極板と平行に、極板と同じ面積で挿入した。誘電体の板と極板の間のすき間は真空である。極板の間に電池をつないで電位差 $V$（$V>0$）を保つ。真空の誘電率を ${\epsilon }_0$ とし、極板の端の効果は無視して、電場は極板に垂直で各領域で一様とする。このとき、誘電体の板の表面（極板に平行な面）に現れる分極電荷の面密度の大きさを、${\epsilon }_0,{\epsilon }_r,V,d,t$ を用いて表せ。

真空中に、中心 O、内半径 $a$、外半径 $2a$（$a>0$）の厚い球殻があり、球殻の部分 $a\leqq r\leqq 2a$（$r$ は O からの距離）にだけ、正の電荷が一様な体積密度 $\rho$（$\rho >0$）で分布している。O からの距離が $\frac{3}{2}a$ の点 P での電場の大きさを、真空の誘電率 ${\epsilon }_0$, $\rho$, $a$ を用いて表せ。ただし、球殻の部分の誘電率も ${\epsilon }_0$ とし、電荷は静止しているものとする。

真空中に、接地された無限に広い平面導体がある。導体の表面から距離 $h$（$h>0$）の点 P に点電荷 $q$（$q>0$）を固定した。P から導体の表面に下ろした垂線の足を O とし、導体の表面上で O から距離 $h$ の点を A とする。点 A で導体の表面に誘導される電荷の面密度の大きさを、$q$, $h$ を用いて表せ。ただし、導体の表面より上側（点電荷のある側）は真空で、系は静電的なつり合いの状態にあるとする。

十分に広い 2 枚の平行な極板 A, B のあいだが、誘電率 $\epsilon =4{\epsilon }_0$ の一様な誘電体ですき間なく満たされている（${\epsilon }_0$ は真空の誘電率）。極板 A には面密度 $+\sigma$、極板 B には面密度 $-\sigma$ の真電荷が一様に分布している（$\sigma >0$）。誘電体の表面のうち極板 A に接する面に現れる分極電荷の面密度の大きさを、$\sigma$ を用いて表せ。

真空中に、半径 $a$（$a>0$）の十分に長い円柱があり、その内部に正の電荷が一様な体積密度 $\rho$（$\rho >0$）で分布している。円柱の外部に電荷はない。円柱の中心軸上の点を O、中心軸からの距離が $2a$ の点を P とする。O と P の電位差 $V_{\mathrm{O}}-V_{\mathrm{P}}$ を、真空の誘電率 ${\epsilon }_0$, $\rho$, $a$ を用いて表せ。ただし、円柱の内部と外部の誘電率はどちらも ${\epsilon }_0$ とし、円柱の端の影響は無視する。