電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導）の問題

真空中に一様な磁束密度 $B_0$（$B_0>0$）の静磁場がある。この中に、半径 $a$（$a>0$）の無限に長い円柱を、中心軸が磁場の向きに垂直になるように置く。円柱は比透磁率 ${\mu }_r$（${\mu }_r>0$ の定数）の一様・等方的な線形磁性体でできていて、伝導電流は流れていない。円柱を置いても、円柱から十分に遠い所の磁場は一様な磁束密度 $B_0$ のままであるとする。真空の透磁率を ${\mu }_0$ として、円柱の内部の磁束密度の大きさを、$B_0,{\mu }_r$ を用いて表せ。ただし、円柱の内部の磁場は一様になることを用いてよい。

真空中に、中心 $\mathrm{O}$、半径 $R$ の球がある。この球の内部から、中心 $\mathrm{C}$、半径 $b$ の球形の部分をくりぬいて空洞にした。ただし $\mathrm{OC}=d$ であり、$0<b<d$、$d+b<R$ とする（空洞は球の内部にあり、点 $\mathrm{O}$ は空洞の外にある）。空洞を除いた部分には、一様な体積密度 $\rho$（$\rho >0$）で電荷が分布しており、空洞の中は真空である。真空の誘電率を ${\epsilon }_0$ とする。点 $\mathrm{O}$ と点 $\mathrm{C}$ の電位差 $\varphi (\mathrm{O})-\varphi (\mathrm{C})$ を、$\rho ,b,d,{\epsilon }_0$ を用いて表せ。

真空中に、中心 O、半径 $a$（$a>0$）の導体球がある。この導体球は孤立しており（接地されておらず）、全電荷は $0$ である。中心 O から距離 $2a$ の点 P に点電荷 $q$（$q>0$）を固定した。点電荷 $q$ が導体球から受ける静電気力の大きさを、真空の誘電率 ${\epsilon }_0$, $q$, $a$ を用いて表せ。ただし、系は静電的なつり合いの状態にあるとする。

真空中に、半径 $a$（$a>0$）の十分に長い円柱があり、その内部に正の電荷が一様な体積密度 $\rho$（$\rho >0$）で分布している。円柱の外部に電荷はない。円柱の中心軸上の点を O、中心軸からの距離が $2a$ の点を P とする。O と P の電位差 $V_{\mathrm{O}}-V_{\mathrm{P}}$ を、真空の誘電率 ${\epsilon }_0$, $\rho$, $a$ を用いて表せ。ただし、円柱の内部と外部の誘電率はどちらも ${\epsilon }_0$ とし、円柱の端の影響は無視する。

真空中に、大きさ $E_0$（$E_0>0$）の一様な電場がある。この中に、中心 O、半径 $a$（$a>0$）の一様な誘電体の球（比誘電率 ${\epsilon }_{\mathrm{r}}=4$）を置いた。誘電体は線形・等方的で、真電荷をもたない。十分に時間がたって静電的なつり合いの状態になったとき、球の表面上の点 P のすぐ外側（真空側）での電場の大きさを、$E_0$ を用いて表せ。ただし、点 P は、O から P へ向かう向きと、もとの一様な電場の向きとのなす角が $60^{\circ }$ となる点である。また、球から十分に遠い点では、電場はもとの一様な電場に一致するものとする。