アンペールの法則と重ね合わせ

真空中に、半径 $a$ の十分に長い円柱形の導線がまっすぐ置かれ、その中心軸に平行に一定の電流 $I$ が流れている。電流は導線の断面に一様に分布している。中心軸からの距離が $\frac{a}{3}$ の点 P（導線の内部）における磁束密度の大きさを、アンペールの法則 $\oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}={\mu }_0{I}_{\mathrm{in}}$ を用いて、${\mu }_0$, $I$, $a$ で表せ。ただし、${\mu }_0$ は真空の透磁率で、導線の内部の透磁率も ${\mu }_0$ とする。

真空中に、十分に長い直線導線と、1 巻きの長方形のコイルが同じ平面内に置かれている。コイルの辺のうち 2 本は直線導線と平行で長さ $b$、残りの 2 本は直線導線に垂直で長さ $a$ である。直線導線に近い側の平行な辺は、直線導線から距離 $a$ の位置にある（したがって遠い側の辺は距離 $2a$ の位置にある）。ここで $a>0$, $b>0$ とする。直線導線とコイルの相互インダクタンス $M$ を、真空の透磁率 ${\mu }_0$, $b$ を用いて表せ。ただし、直線導線の電流の帰路は十分遠くにあって影響は無視でき、導線とコイルの太さも無視する。

真空中に無限に長い直線導線があり、その導線を含む平面内に、$N$ 巻き（$N$ は正の整数）の長方形コイルが置かれている。コイルの 2 辺（長さ $l$）は導線に平行で、導線からの距離はそれぞれ $d$ と $2d$ である（$l>0,d>0$）。導線に流れる電流を、時刻 $t$ の関数として $I(t)=kt$（$k$ は正の定数）のように増加させる。このとき、コイルに生じる誘導起電力の大きさを、$N,l,k$ と真空の透磁率 ${\mu }_0$ を用いて表せ。ただし、コイルの巻線の太さは無視し、コイル自身に流れる電流がつくる磁場（自己誘導）は考えないものとする。

真空中に、十分に長い同軸ケーブルがある。内側の導体は半径 $a$ の中実の円柱で、外側の導体は半径 $b$（$b>a>0$）の厚さの無視できる薄い円筒である。2 つの導体は中心軸を共有している。内側の導体には大きさ $I$ の定常電流が中心軸方向に流れ、外側の導体には同じ大きさの電流が逆向きに流れる。内側の導体を流れる電流は断面内に一様に分布し、外側の導体の電流は円筒面上に一様に分布する。導体と導体の間は真空で、導体の透磁率はすべて真空の透磁率 ${\mu }_0$ に等しいものとする。端の効果は無視する。

磁場のエネルギー $W$ と自己インダクタンス $L$ の関係 $W=\frac{1}{2}L{I}^2$ を用いて、このケーブルの単位長さあたりの自己インダクタンス（内側の導体の内部の磁場の寄与を含む）を、${\mu }_0,a,b$ を用いて求めよ。

真空の透磁率を ${\mu }_0$ とし、SI 単位系を用いる。円柱座標 $(r,\phi ,z)$ をとり、半径 $a$ の無限に長い円柱状のプラズマが領域 $r<a$ にあるとする。$r>a$ は真空である。このプラズマは静止した理想 MHD 平衡
$$\nabla p=\mathbf{J}\times \mathbf{B}$$
にあり、圧力 $p$ は $r$ だけの関数で、プラズマの表面で $p(a)=0$ である。

プラズマには $z$ 方向の電流だけが流れており、その電流密度は
$$J_z(r)=J_0\left(1-\frac{r^2}{a^2}\right)(0\le r\le a)$$
である（$J_0>0$ は定数）。この電流の総量は $I$（$I>0$）である。また、外部のコイルによって、プラズマの内外で一様な $z$ 方向の磁場 $B_0\hat{\mathbf{z}}$（$B_0>0$）がかかっている。プラズマには $\phi$ 方向の電流は流れていない。

中心軸上（$r=0$）でのベータ値
$$\beta (0)=\frac{p(0)}{B(0{)}^2/(2{\mu }_0)}$$
を、${\mu }_0,I,a,B_0$ を用いて表せ。ただし $B(0)$ は $r=0$ での磁束密度の大きさである。

真空中に、半径 $a$（$a>0$）の十分に長い円柱形の導体がある。この導体には、中心軸と平行な、半径 $\frac{a}{3}$ の円柱形の空洞があけられている。導体の中心軸を O、空洞の中心軸を O${}^{\prime }$ とすると、O と O${}^{\prime }$ の距離は $\frac{a}{2}$ である（空洞は導体の内部に完全に含まれる）。導体の部分（空洞を除いた部分）には、中心軸と平行な向きに、一様な電流密度で全電流 $I$（$I>0$）が流れている。空洞の中心軸 O${}^{\prime }$ 上での磁束密度の大きさを、真空の透磁率 ${\mu }_0$, $I$, $a$ を用いて表せ。ただし、導体の透磁率は ${\mu }_0$ とし、円柱の端の影響は無視する。

SI 単位系で、真空中に、$z$ 軸を共通の中心軸とする、半径 $a$ の導体円柱（内導体）と内半径 $b(b>a)$ の導体円筒（外導体）からなる、長さ $L$ のまっすぐな同軸ケーブルがある。内導体と外導体のあいだは真空である。ケーブルの一端には直流電源が、他端には抵抗がつながれていて、内導体の電位は外導体より $V(V>0)$ だけ高く保たれ、内導体には $z$ 軸の正の向きに、外導体には負の向きに、それぞれ大きさ $I(I>0)$ の一定の電流が流れている。

ケーブルの両端付近の場の乱れは無視し、内導体と外導体のあいだ（$a<r<b$、$r$ は中心軸からの距離）の電場と磁場は、十分長い同軸ケーブルの静的な場と同じであるとする。また、導体の抵抗は無視でき、両導体の電位はそれぞれ長さ方向に一定とみなす。真空の誘電率と透磁率を ${\epsilon }_0$, ${\mu }_0$、光速を $c=1/\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}$ とする。

電磁場の運動量密度を $\mathbf{g}={\epsilon }_0\mathbf{E}\times \mathbf{B}$ として、内導体と外導体のあいだの領域（$a<r<b$、長さ $L$）にある電磁場の運動量の大きさを、$V$, $I$, $L$, $c$ を用いて表せ。

円柱座標 $(r,\phi ,z)$ をとる。$z$ 軸を中心軸とする半径 $a$ の無限に長い円柱状のプラズマ（$r<a$）が静止した平衡状態にあり、その外側 $r>a$ は真空である（z ピンチ）。プラズマには $z$ 方向の電流が流れ、その電流密度は
$$J_z(r)=J_0\left(1-\frac{r^2}{a^2}\right)(0\le r\le a)$$
（$J_0>0$ は定数）である。磁場はこの電流がつくる $\phi$ 成分 $B_{\phi }(r)$ だけで、外部からかけた磁場はない。

プラズマは理想 MHD の静的平衡 $\nabla p=\mathbf{J}\times \mathbf{B}$ をみたし、圧力 $p(r)$ は $r$ だけの関数で、表面で $p(a)=0$ とする。SI 単位系を用い、真空の透磁率を ${\mu }_0$ とする。

中心軸上の圧力 $p(0)$ を、プラズマ表面での磁気圧 $\frac{B_{\phi }(a{)}^2}{2{\mu }_0}$ と比べた量
$${\beta }_0=\frac{2{\mu }_{0}p(0)}{B_{\phi }(a{)}^2}$$
を、分数で求めよ。