技能一覧 › 大学物理 電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導）

磁性体と磁場の強さ

$\oint \mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}=I_{\mathrm{free}}$ と $\mathbf{B}=\mu \mathbf{H}$、磁化 $\mathbf{M}$ の関係を使い、透磁率 $\mu$ の磁性体を含む円柱・トロイドの磁束密度や磁化電流を求められる

前提

• アンペールの法則と重ね合わせ （大学物理 電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））

説明

なぜそうしてよいのか

手順

1. 自由電流（導線の電流）の分布と対称性を確認し、$\mathbf{H}$ の向き（右ねじの法則）と、$H$ が何の変数だけで決まるかを決める。

2. 対称性に合った閉曲線（円柱なら軸を中心とする円、トロイドなら中心を回る円）をとり、$\oint \mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}=I_{\mathrm{free}}$ から $H$ を求める。磁化電流は右辺に入れない。

3. その場所の透磁率を使って $B=\mu H$ を求める（真空中なら $\mu ={\mu }_0$）。

4. 磁化を $M=\left(\frac{\mu }{{\mu }_0}-1\right)H$（$=\frac{B}{{\mu }_0}-H$）で求める。

5. 磁化電流が必要なら、閉曲線を貫く分を $\oint \mathbf{M}\cdot d\mathbf{l}$ で、磁性体の表面を流れる分を表面での $M$ の値（長さあたりの電流）から求める。

例題

よくある誤り

• $\oint \mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}$ の右辺に磁化電流まで入れてしまう誤り。$\mathbf{H}$ の線積分が等しいのは自由電流 $I_{\mathrm{free}}$ だけで、磁化電流の効果は $\mathbf{H}=\frac{\mathbf{B}}{{\mu }_0}-\mathbf{M}$ の $\mathbf{M}$ にすでに含まれている。$\mathbf{B}$ の線積分なら ${\mu }_0(I_{\mathrm{free}}+I_{\mathrm{m},\mathrm{in}})$。

• 磁化を $M=\frac{\mu }{{\mu }_0}H$ や $M=\mu H$ としてしまう誤り。$\mu H$ は $B$ であり、正しくは $M=\frac{B}{{\mu }_0}-H=\left(\frac{\mu }{{\mu }_0}-1\right)H$。真空（$\mu ={\mu }_0$）で $M=0$ になることで確かめられる。

• 磁性体が入っても $B={\mu }_{0}H$ のまま計算してしまう誤り。磁性体の中では $B=\mu H$ で、$\mu >{\mu }_0$ の芯なら同じ電流でも $B$ は $\frac{\mu }{{\mu }_0}$ 倍になる。逆に $H$ は自由電流だけで決まるので、芯があってもなくてもトロイドでは $H=\frac{NI}{2\pi r}$。

• 磁性体の表面を流れる磁化電流を、体積あたりの量 $M$ に表面積を掛けて求めてしまう誤り。表面の磁化電流は「表面に沿った長さあたり」の電流が $M$（$\mathbf{M}$ に垂直な方向の長さあたり）であり、長さ $\ell$ の部分を流れる磁化電流は $M\ell$。トロイドの芯の内側の面（半径 $r_1$）を一周して流れる合計は $M(r_1)\cdot 2\pi r_1=\left(\frac{\mu }{{\mu }_0}-1\right)NI$。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

• 難易度 1（教科書の例題レベル）

  内半径 $a$、外半径 $b$ のドーナツ形（円環状）の鉄心があり、透磁率 $\mu$ の一様な磁性体でできている。この鉄心に導線を一様に $N$ 回巻いたトロイダルコイルをつくり、導線に一定の電流 $I$ を流す。鉄心の中心軸からの距離が $r$（$a<r<b$）の鉄心内部の点 P における磁束密度の大きさを、$\oint \mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}=I_{\mathrm{free}}$ と $\mathbf{B}=\mu \mathbf{H}$ を用いて、$\mu$, $N$, $I$, $r$ で表せ。

  $\mathrm{P}$$a$$b$$r$

この技能を使う問題

• 難易度 2（教科書の演習問題レベル）

  真空中に、中心軸を共有する 2 本の十分に長い導体の管（厚さの無視できる円筒）からなる同軸ケーブルがある。内側の管の半径は $a$、外側の管の半径は $b$ である。両管のあいだは 2 種類の磁性体で満たされている。$a<r<c$ の部分（$r$ は中心軸からの距離）は比透磁率 ${\kappa }_1$ の磁性体、$c<r<b$ の部分は比透磁率 ${\kappa }_2$ の磁性体である（$0<a<c<b$）。どちらの磁性体も一様・等方的・線形で、${\kappa }_1$, ${\kappa }_2$ は正の定数とする。

  内側の管に電流 $I$（$I>0$）を中心軸の向きに流し、外側の管で同じ大きさの電流を逆向きに戻す。電流はそれぞれの管の周方向に一様に分布する。真空の透磁率を ${\mu }_0$ とし、ケーブルの端の影響は無視する。

  このケーブルの単位長さあたりの自己インダクタンス $L$ を求めよ。ただし $L$ は、中心軸を含む平面上で $a<r<b$、軸方向の長さ $1$ の長方形を貫く磁束を $\Phi$ として、$L=\Phi /I$ で定める。答えは ${\mu }_0$, ${\kappa }_1$, ${\kappa }_2$, $a$, $b$, $c$ を用いて表せ。

  $a$$c$$b$${\kappa }_1$${\kappa }_2$

• 難易度 4（大学院入試の標準レベル）

  真空中に一様な磁束密度 $B_0$（$B_0>0$）の静磁場がある。この中に、半径 $a$（$a>0$）の無限に長い円柱を、中心軸が磁場の向きに垂直になるように置く。円柱は比透磁率 ${\mu }_r$（${\mu }_r>0$ の定数）の一様・等方的な線形磁性体でできていて、伝導電流は流れていない。円柱を置いても、円柱から十分に遠い所の磁場は一様な磁束密度 $B_0$ のままであるとする。真空の透磁率を ${\mu }_0$ として、円柱の内部の磁束密度の大きさを、$B_0,{\mu }_r$ を用いて表せ。ただし、円柱の内部の磁場は一様になることを用いてよい。

  $a$${\mu }_r$$B_0$