電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導）の問題

真空中に、十分に長い同軸ケーブルがある。内側の導体は半径 $a$ の中実の円柱で、外側の導体は半径 $b$（$b>a>0$）の厚さの無視できる薄い円筒である。2 つの導体は中心軸を共有している。内側の導体には大きさ $I$ の定常電流が中心軸方向に流れ、外側の導体には同じ大きさの電流が逆向きに流れる。内側の導体を流れる電流は断面内に一様に分布し、外側の導体の電流は円筒面上に一様に分布する。導体と導体の間は真空で、導体の透磁率はすべて真空の透磁率 ${\mu }_0$ に等しいものとする。端の効果は無視する。

磁場のエネルギー $W$ と自己インダクタンス $L$ の関係 $W=\frac{1}{2}L{I}^2$ を用いて、このケーブルの単位長さあたりの自己インダクタンス（内側の導体の内部の磁場の寄与を含む）を、${\mu }_0,a,b$ を用いて求めよ。

真空中に無限に長い直線導線があり、その導線を含む平面内に、$N$ 巻き（$N$ は正の整数）の長方形コイルが置かれている。コイルの 2 辺（長さ $l$）は導線に平行で、導線からの距離はそれぞれ $d$ と $2d$ である（$l>0,d>0$）。導線に流れる電流を、時刻 $t$ の関数として $I(t)=kt$（$k$ は正の定数）のように増加させる。このとき、コイルに生じる誘導起電力の大きさを、$N,l,k$ と真空の透磁率 ${\mu }_0$ を用いて表せ。ただし、コイルの巻線の太さは無視し、コイル自身に流れる電流がつくる磁場（自己誘導）は考えないものとする。

真空中に、十分に長い直線導線と、1 巻きの長方形のコイルが同じ平面内に置かれている。コイルの辺のうち 2 本は直線導線と平行で長さ $b$、残りの 2 本は直線導線に垂直で長さ $a$ である。直線導線に近い側の平行な辺は、直線導線から距離 $a$ の位置にある（したがって遠い側の辺は距離 $2a$ の位置にある）。ここで $a>0$, $b>0$ とする。直線導線とコイルの相互インダクタンス $M$ を、真空の透磁率 ${\mu }_0$, $b$ を用いて表せ。ただし、直線導線の電流の帰路は十分遠くにあって影響は無視でき、導線とコイルの太さも無視する。

真空中に、半径 $a$（$a>0$）の十分に長い円柱があり、その内部に正の電荷が一様な体積密度 $\rho$（$\rho >0$）で分布している。円柱の外部に電荷はない。円柱の中心軸上の点を O、中心軸からの距離が $2a$ の点を P とする。O と P の電位差 $V_{\mathrm{O}}-V_{\mathrm{P}}$ を、真空の誘電率 ${\epsilon }_0$, $\rho$, $a$ を用いて表せ。ただし、円柱の内部と外部の誘電率はどちらも ${\epsilon }_0$ とし、円柱の端の影響は無視する。

断面が長方形のトロイダルコイルがある。コイルを巻いた枠は、中心軸からの内半径 $a$、外半径 $2a$、高さ $h$ の円環である。この円環の内部のうち、上半分（高さ $\frac{h}{2}$ の部分）は透磁率 $\mu$ の一様な磁性体で満たされ、下半分は真空（透磁率 ${\mu }_0$）である。磁性体と真空の境界面は中心軸に垂直な平面である。円環の全体に導線が $N$ 回、一様に密に巻かれている。導線の太さと、コイルの外への磁場のもれは無視し、磁性体は線形（$B=\mu H$）で一様であるとする。

このコイルの自己インダクタンス $L$ を $\mu$, ${\mu }_0$, $N$, $h$ を用いて表せ。