電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導）の問題

真空中に、中心軸を共有する 2 本の十分に長い導体の管（厚さの無視できる円筒）からなる同軸ケーブルがある。内側の管の半径は $a$、外側の管の半径は $b$ である。両管のあいだは 2 種類の磁性体で満たされている。$a<r<c$ の部分（$r$ は中心軸からの距離）は比透磁率 ${\kappa }_1$ の磁性体、$c<r<b$ の部分は比透磁率 ${\kappa }_2$ の磁性体である（$0<a<c<b$）。どちらの磁性体も一様・等方的・線形で、${\kappa }_1$, ${\kappa }_2$ は正の定数とする。

内側の管に電流 $I$（$I>0$）を中心軸の向きに流し、外側の管で同じ大きさの電流を逆向きに戻す。電流はそれぞれの管の周方向に一様に分布する。真空の透磁率を ${\mu }_0$ とし、ケーブルの端の影響は無視する。

このケーブルの単位長さあたりの自己インダクタンス $L$ を求めよ。ただし $L$ は、中心軸を含む平面上で $a<r<b$、軸方向の長さ $1$ の長方形を貫く磁束を $\Phi$ として、$L=\Phi /I$ で定める。答えは ${\mu }_0$, ${\kappa }_1$, ${\kappa }_2$, $a$, $b$, $c$ を用いて表せ。

真空中に無限に長い直線導線があり、その導線を含む平面内に、$N$ 巻き（$N$ は正の整数）の長方形コイルが置かれている。コイルの 2 辺（長さ $l$）は導線に平行で、導線からの距離はそれぞれ $d$ と $2d$ である（$l>0,d>0$）。導線に流れる電流を、時刻 $t$ の関数として $I(t)=kt$（$k$ は正の定数）のように増加させる。このとき、コイルに生じる誘導起電力の大きさを、$N,l,k$ と真空の透磁率 ${\mu }_0$ を用いて表せ。ただし、コイルの巻線の太さは無視し、コイル自身に流れる電流がつくる磁場（自己誘導）は考えないものとする。

真空中の平面内に、点 $\mathrm{O}$ を中心とする半径 $a$（$a>0$）の円の $\frac{1}{4}$ にあたる円弧 $\mathrm{AB}$（$\angle \mathrm{AOB}=90^{\circ }$）と、その弦 $\mathrm{BA}$ とでできた 1 巻きの閉じた導線がある。この導線に、$\mathrm{A}$ から円弧を通って $\mathrm{B}$ へ、さらに弦を通って $\mathrm{A}$ へもどる向きに、大きさ $I$（$I>0$）の定常電流を流す。導線の太さは無視でき、真空の透磁率を ${\mu }_0$ とする。点 $\mathrm{O}$ における磁束密度の大きさを、${\mu }_0$, $I$, $a$ を用いて求めよ。

真空中に、半径 $a$（$a>0$）の十分に長い円柱があり、その内部に正の電荷が一様な体積密度 $\rho$（$\rho >0$）で分布している。円柱の外部に電荷はない。円柱の中心軸上の点を O、中心軸からの距離が $2a$ の点を P とする。O と P の電位差 $V_{\mathrm{O}}-V_{\mathrm{P}}$ を、真空の誘電率 ${\epsilon }_0$, $\rho$, $a$ を用いて表せ。ただし、円柱の内部と外部の誘電率はどちらも ${\epsilon }_0$ とし、円柱の端の影響は無視する。

真空中に、十分に長い直線導線と、1 巻きの長方形のコイルが同じ平面内に置かれている。コイルの辺のうち 2 本は直線導線と平行で長さ $b$、残りの 2 本は直線導線に垂直で長さ $a$ である。直線導線に近い側の平行な辺は、直線導線から距離 $a$ の位置にある（したがって遠い側の辺は距離 $2a$ の位置にある）。ここで $a>0$, $b>0$ とする。直線導線とコイルの相互インダクタンス $M$ を、真空の透磁率 ${\mu }_0$, $b$ を用いて表せ。ただし、直線導線の電流の帰路は十分遠くにあって影響は無視でき、導線とコイルの太さも無視する。