電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導）の問題

真空中に無限に長い直線導線があり、その導線を含む平面内に、$N$ 巻き（$N$ は正の整数）の長方形コイルが置かれている。コイルの 2 辺（長さ $l$）は導線に平行で、導線からの距離はそれぞれ $d$ と $2d$ である（$l>0,d>0$）。導線に流れる電流を、時刻 $t$ の関数として $I(t)=kt$（$k$ は正の定数）のように増加させる。このとき、コイルに生じる誘導起電力の大きさを、$N,l,k$ と真空の透磁率 ${\mu }_0$ を用いて表せ。ただし、コイルの巻線の太さは無視し、コイル自身に流れる電流がつくる磁場（自己誘導）は考えないものとする。

真空中に十分に長い直線導線があり、時刻 $t$ における電流が $I(t)=kt$（$k$ は正の定数）で増えていく。この導線と同じ平面内に、1 辺の長さ $a$ の正方形の 1 巻きのコイルが固定されている。コイルの 2 辺は導線と平行で、導線に近い側の辺は導線から距離 $a$、遠い側の辺は距離 $2a$ の位置にある。導線の電流が距離 $x$ の点につくる磁束密度の大きさは $B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi x}$（${\mu }_0$ は真空の透磁率）である。コイルに生じる誘導起電力の大きさを、${\mu }_0$, $k$, $a$ を用いて表せ。ただし、コイル自身を流れる電流がつくる磁場は無視する。

真空中に、十分に長い直線導線と、1 巻きの長方形のコイルが同じ平面内に置かれている。コイルの辺のうち 2 本は直線導線と平行で長さ $b$、残りの 2 本は直線導線に垂直で長さ $a$ である。直線導線に近い側の平行な辺は、直線導線から距離 $a$ の位置にある（したがって遠い側の辺は距離 $2a$ の位置にある）。ここで $a>0$, $b>0$ とする。直線導線とコイルの相互インダクタンス $M$ を、真空の透磁率 ${\mu }_0$, $b$ を用いて表せ。ただし、直線導線の電流の帰路は十分遠くにあって影響は無視でき、導線とコイルの太さも無視する。

真空中に、中心 $\mathrm{O}$、半径 $a$（$a>0$）の導体球があり、接地されている（導体球の電位は無限遠と同じ $0$ に保たれている）。$\mathrm{O}$ からの距離が $3a$ の点 $\mathrm{P}$ に点電荷 $q$（$q>0$）を固定した。導体球の表面のうち $\mathrm{P}$ に最も近い点を $\mathrm{A}$ とする（$\mathrm{A}$ は線分 $\mathrm{OP}$ 上にある）。静電平衡の状態で、点 $\mathrm{A}$ における導体球の表面電荷密度を、$q$, $a$ を用いて表せ。真空の誘電率を ${\epsilon }_0$ とする。

真空中に、十分に長い同軸ケーブルがある。内側の導体は半径 $a$ の中実の円柱で、外側の導体は半径 $b$（$b>a>0$）の厚さの無視できる薄い円筒である。2 つの導体は中心軸を共有している。内側の導体には大きさ $I$ の定常電流が中心軸方向に流れ、外側の導体には同じ大きさの電流が逆向きに流れる。内側の導体を流れる電流は断面内に一様に分布し、外側の導体の電流は円筒面上に一様に分布する。導体と導体の間は真空で、導体の透磁率はすべて真空の透磁率 ${\mu }_0$ に等しいものとする。端の効果は無視する。

磁場のエネルギー $W$ と自己インダクタンス $L$ の関係 $W=\frac{1}{2}L{I}^2$ を用いて、このケーブルの単位長さあたりの自己インダクタンス（内側の導体の内部の磁場の寄与を含む）を、${\mu }_0,a,b$ を用いて求めよ。