ビオ・サバールの法則

$d B = \frac{μ _{0}}{4 π} \frac{I d l \times r}{r ^{3}}$ を積分し、有限の直線電流や円電流の軸上などの磁束密度を求められる

前提

空間ベクトルの外積（大学数学ベクトル解析）
電流がつくる磁場と磁場の合成（高校物理電磁気と交流）
置換積分（数学III 積分法）

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算数中学高校大学大学院

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置換積分（数学III 積分法）

説明

ビオ・サバールの法則は、電流の流れる導線を短い小片 $d l$ に分け、各小片がつくる小さな磁束密度
$d B = \frac{μ _{0}}{4 π} \frac{I d l \times r}{r ^{3}}$
を足し合わせる（積分する）ことで、どんな形の電流がつくる磁場でも求められるようにする法則です。 $μ_{0}$ は真空の透磁率、 $r$ は小片から磁場を求める点へ向かうベクトルです。これまで結果として使ってきた無限に長い直線電流や円形電流の中心の磁場を導けるだけでなく、長さが有限の直線電流や、円形電流の中心軸上の任意の点の磁場も計算できるようになります。

なぜそうしてよいのか

電荷の場合は、点電荷のつくる電場（クーロンの法則）を重ね合わせれば広がった電荷の電場が求まりました。電流でも同じように、「電流の小片 $I d l$ がつくる磁場」を決めておけば、あとは重ね合わせ（ベクトルの和、つまり積分）で全体の磁場が求まります。その小片の磁場を与えるのがビオ・サバールの法則で、実験に合うように決められた次の性質をもちます: 大きさは距離の 2 乗に反比例し（ $\frac{∣ d l \times r ∣}{r ^{3}} = \frac{d l sin α}{r ^{2}}$ 、 $α$ は $d l$ と $r$ のなす角）、電流の向きの延長線上（ $α = 0$ ）では $0$ 、向きは外積により $d l$ と $r$ の両方に垂直で、右ねじの法則の向きです。

この式が正しいことは、よく知っている結果を再現することで確かめられます。 $x$ 軸上の直線電流 $I$ から距離 $R$ の点 P を考え、P から軸に下ろした垂線の足を原点にとります。位置 $x$ の小片について $∣ d l \times r ∣ = d x \cdot r sin α = R d x$ 、 $r = x^{2} + R^{2}$ で、向きはどの小片でも同じ（右ねじの向き）なので大きさをそのまま足せます。
$B = \frac{μ _{0} I}{4 π} \int \frac{R d x}{( x ^{2} + R ^{2} ) ^{3/2}}$
ここで $x = R tan θ$ と置換すると $d x = \frac{R}{cos ^{2} θ} d θ$ 、 $(x^{2} + R^{2})^{3/2} = \frac{R ^{3}}{cos ^{3} θ}$ なので被積分関数は $\frac{cos θ}{R} d θ$ になり、導線が $θ_{1}$ から $θ_{2}$ の範囲に見えるとき
$B = \frac{μ _{0} I}{4 π R} (sin θ_{2} - sin θ_{1})$
です（ $θ$ は P から垂線の向きを基準に測った角）。無限に長ければ $θ_{1} \to - \frac{π}{2}$ 、 $θ_{2} \to \frac{π}{2}$ で $B = \frac{μ _{0} I}{2 π R}$ となり、知っている結果と一致します。

もう 1 つの典型は円形電流の中心軸上です。この場合は小片ごとに $d B$ の向きが違うので、大きさだけを足してはいけません。成分で外積を計算すると、軸に垂直な成分は円を一周すると打ち消し合い、軸方向の成分だけが残ります。このように「向きが同じなら大きさを足す」「向きが変わるなら成分に分けて足す」のが積分のコツです。

手順

座標を設定し、電流の小片の位置と $d l$ （電流の向き）を 1 つの変数（直線なら $x$ 、円なら角 $φ$ ）で表す。
小片から磁場を求める点 P へ向かうベクトル $r$ （P の位置 − 小片の位置）と、その大きさ $r$ を求める。
外積 $d l \times r$ を成分で計算する（向きが一定とわかっていれば大きさ $d l r sin α$ だけでもよい）。
対称性から打ち消し合う成分を見抜き、残る成分だけを $\frac{μ _{0} I}{4 π} \int \frac{( d l \times r ) の成分}{r ^{3}}$ として書く。
積分を実行する。直線なら $x = R tan θ$ の置換、円なら $r$ が一定なので $φ$ について $0$ から $2 π$ まで積分する。
結果の向きを右ねじの法則でも確かめ、極端な場合（無限に長い導線、円の中心 $z = 0$ など）で知っている式に一致するか確認する。

例題

真空中の $x y$ 平面上に、原点を中心とする半径 $a$ の円形の導線があり、 $z$ 軸の正の向きから見て反時計回りに電流 $I$ が流れている。 $z$ 軸上の点 $(0, 0, z)$ における磁束密度の $z$ 成分を、ビオ・サバールの法則 $d B = \frac{μ _{0}}{4 π} \frac{I d l \times r}{r ^{3}}$ （ $μ_{0}$ は真空の透磁率、 $r$ は電流の小片から点へ向かうベクトル）を用いて、 $μ_{0}, I, a, z$ で表せ。

例題の解答

【手順 1】導線上の点を角 $φ$ で $(a cos φ, a sin φ, 0)$ と表す。反時計回りなので $φ$ が増える向きに電流が流れ、
$d l = (- a sin φ, a cos φ, 0) d φ$

【手順 2】 $r = (0, 0, z) - (a cos φ, a sin φ, 0) = (- a cos φ, - a sin φ, z)$ 、 $r = a^{2} + z^{2}$ （ $φ$ によらず一定）。

【手順 3】外積を成分で計算すると
$d l \times r = (a z cos φ, a z sin φ, a^{2} sin^{2} φ + a^{2} cos^{2} φ) d φ = (a z cos φ, a z sin φ, a^{2}) d φ$

【手順 4】 $x, y$ 成分は $\int_{0}^{2 π} cos φ d φ = \int_{0}^{2 π} sin φ d φ = 0$ で打ち消し合う。残るのは $z$ 成分で
$B_{z} = \frac{μ _{0} I}{4 π} \int_{0}^{2 π} \frac{a ^{2}}{( a ^{2} + z ^{2} ) ^{3/2}} d φ$

【手順 5】被積分関数は $φ$ によらないので
$B_{z} = \frac{μ _{0} I}{4 π} \cdot \frac{2 π a ^{2}}{( a ^{2} + z ^{2} ) ^{3/2}} = \frac{μ _{0} I a ^{2}}{2 ( a ^{2} + z ^{2} ) ^{3/2}}$

【手順 6】 $B_{z} > 0$ で $+ z$ 向き。反時計回りの電流に右ねじの法則を当てはめた向きと一致する。 $z = 0$ とすると $\frac{μ _{0} I}{2 a}$ となり、円形電流の中心の磁場に一致する。

答え: $\frac{μ _{0} I a ^{2}}{2 ( a ^{2} + z ^{2} ) ^{3/2}}$

よくある誤り

$r$ を「点 P から電流の小片へ」向かうベクトルにしてしまう誤り。向きが逆だと外積の符号が反転し、磁場の向きが逆になる。正しくは小片から P へ向かうベクトル（P の位置 − 小片の位置）。
分母を $r^{2}$ にしてしまう誤り。分子の $r$ にも長さ $r$ が含まれているので、 $\frac{d l \times r}{r ^{3}}$ の大きさは $\frac{d l sin α}{r ^{2}}$ になる。 $\frac{d l \times r}{r ^{2}}$ と書くと距離に 1 回だけ反比例する誤った式になる。
円形電流の軸上で、各小片の $∣ d B ∣ = \frac{μ _{0} I d l}{4 π ( a ^{2} + z ^{2} )}$ をそのまま一周分足して $\frac{μ _{0} I a}{2 ( a ^{2} + z ^{2} )}$ としてしまう誤り。 $d B$ の向きは小片ごとに違い、軸に垂直な成分は打ち消し合う。軸方向の成分は $\frac{a}{a ^{2} + z ^{2}}$ 倍なので、正しくは $\frac{μ _{0} I a ^{2}}{2 ( a ^{2} + z ^{2} ) ^{3/2}}$ 。
有限の直線電流で、置換 $x = R tan θ$ の後も積分範囲を $x$ の値のままにしてしまう誤り。 $x$ が $x_{1}$ から $x_{2}$ まで動くとき $θ$ は $arctan \frac{x _{1}}{R}$ から $arctan \frac{x _{2}}{R}$ までで、結果は $\frac{μ _{0} I}{4 π R} (\frac{x _{2}}{x _{2}^{2} + R ^{2}} - \frac{x _{1}}{x _{1}^{2} + R ^{2}})$ となる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
真空中に長さ $2 a$ の細い直線導線 AB があり、A から B の向きに一定の電流 $I$ が流れている。AB の中点を M とし、M から AB に垂直な向きに距離 $a$ だけ離れた点を P とする。導線 AB の電流だけが点 P につくる磁束密度の大きさを、ビオ・サバールの法則
$d B = \frac{μ _{0}}{4 π} \frac{I d l \times r}{r ^{3}}$
（ $r$ は電流要素 $I d l$ から点 P へ向かうベクトル、 $μ_{0}$ は真空の透磁率）を用いて、 $μ_{0}$ , $I$ , $a$ で表せ。ただし、導線 AB 以外の部分（電流を流すための導線など）がつくる磁場は考えない。
$A$ $B$ $M$ $P$ $I$ $a$ $2 a$

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

磁気双極子放射（大学院物理発展的な電磁気学（放射・相対論的電磁気学））