電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導）の問題

真空中に、半径 $a$ の十分に長い円柱形の導線がまっすぐ置かれ、その中心軸に平行に一定の電流 $I$ が流れている。電流は導線の断面に一様に分布している。中心軸からの距離が $\frac{a}{3}$ の点 P（導線の内部）における磁束密度の大きさを、アンペールの法則 $\oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}={\mu }_0{I}_{\mathrm{in}}$ を用いて、${\mu }_0$, $I$, $a$ で表せ。ただし、${\mu }_0$ は真空の透磁率で、導線の内部の透磁率も ${\mu }_0$ とする。

真空中に十分に長い直線導線があり、時刻 $t$ における電流が $I(t)=kt$（$k$ は正の定数）で増えていく。この導線と同じ平面内に、1 辺の長さ $a$ の正方形の 1 巻きのコイルが固定されている。コイルの 2 辺は導線と平行で、導線に近い側の辺は導線から距離 $a$、遠い側の辺は距離 $2a$ の位置にある。導線の電流が距離 $x$ の点につくる磁束密度の大きさは $B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi x}$（${\mu }_0$ は真空の透磁率）である。コイルに生じる誘導起電力の大きさを、${\mu }_0$, $k$, $a$ を用いて表せ。ただし、コイル自身を流れる電流がつくる磁場は無視する。

内半径 $a$、外半径 $b$ のドーナツ形（円環状）の鉄心があり、透磁率 $\mu$ の一様な磁性体でできている。この鉄心に導線を一様に $N$ 回巻いたトロイダルコイルをつくり、導線に一定の電流 $I$ を流す。鉄心の中心軸からの距離が $r$（$a<r<b$）の鉄心内部の点 P における磁束密度の大きさを、$\oint \mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}=I_{\mathrm{free}}$ と $\mathbf{B}=\mu \mathbf{H}$ を用いて、$\mu$, $N$, $I$, $r$ で表せ。

真空中に、半径 $a$（$a>0$）の無限に長い円柱があり、その内部にだけ電荷が分布している。中心軸からの距離を $s$ とすると、電荷密度は
$$\rho (s)={\rho }_0\frac{s}{a}(0\leqq s\leqq a)$$
である（${\rho }_0>0$ は定数）。円柱の外部に電荷はない。真空の誘電率を ${ϵ}_0$ とする。

円柱の内部で中心軸からの距離が $r$（$0<r<a$）の点 P における電場の大きさ $E$ を、${\rho }_0$, $a$, $r$, ${ϵ}_0$ を用いて表せ。

真空中に、中心 O、半径 $a$（$a>0$）の球があり、その内部に全電荷 $Q$（$Q>0$）が一様に分布している。球の外部に電荷はない。真空の誘電率を ${ϵ}_0$ とする。O からの距離を $r$ とすると、電場は O から放射状外向きで、その大きさは
$$E(r)=\{\begin{array}{ll}\frac{Qr}{4\pi {ϵ}_0{a}^3}& (0\leqq r\leqq a)\\ \frac{Q}{4\pi {ϵ}_0{r}^2}& (r\geqq a)\end{array}$$
である。

無限遠を電位の基準（電位 $0$）とするとき、中心 O の電位 $V_{\mathrm{O}}$ を $Q$, $a$, ${ϵ}_0$ を用いて表せ。