電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導）の問題

真空中に、半径 $a$ の十分に長い円柱形の導線がまっすぐ置かれ、その中心軸に平行に一定の電流 $I$ が流れている。電流は導線の断面に一様に分布している。中心軸からの距離が $\frac{a}{3}$ の点 P（導線の内部）における磁束密度の大きさを、アンペールの法則 $\oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}={\mu }_0{I}_{\mathrm{in}}$ を用いて、${\mu }_0$, $I$, $a$ で表せ。ただし、${\mu }_0$ は真空の透磁率で、導線の内部の透磁率も ${\mu }_0$ とする。

断面が長方形のトロイダルコイルがある。コイルを巻いた枠は、中心軸からの内半径 $a$、外半径 $2a$、高さ $h$ の円環である。この円環の内部のうち、上半分（高さ $\frac{h}{2}$ の部分）は透磁率 $\mu$ の一様な磁性体で満たされ、下半分は真空（透磁率 ${\mu }_0$）である。磁性体と真空の境界面は中心軸に垂直な平面である。円環の全体に導線が $N$ 回、一様に密に巻かれている。導線の太さと、コイルの外への磁場のもれは無視し、磁性体は線形（$B=\mu H$）で一様であるとする。

このコイルの自己インダクタンス $L$ を $\mu$, ${\mu }_0$, $N$, $h$ を用いて表せ。

真空中に十分に長い直線導線があり、時刻 $t$ における電流が $I(t)=kt$（$k$ は正の定数）で増えていく。この導線と同じ平面内に、1 辺の長さ $a$ の正方形の 1 巻きのコイルが固定されている。コイルの 2 辺は導線と平行で、導線に近い側の辺は導線から距離 $a$、遠い側の辺は距離 $2a$ の位置にある。導線の電流が距離 $x$ の点につくる磁束密度の大きさは $B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi x}$（${\mu }_0$ は真空の透磁率）である。コイルに生じる誘導起電力の大きさを、${\mu }_0$, $k$, $a$ を用いて表せ。ただし、コイル自身を流れる電流がつくる磁場は無視する。

真空中に、半径 $a$（$a>0$）の無限に長い円柱があり、その内部にだけ電荷が分布している。中心軸からの距離を $s$ とすると、電荷密度は
$$\rho (s)={\rho }_0\frac{s}{a}(0\leqq s\leqq a)$$
である（${\rho }_0>0$ は定数）。円柱の外部に電荷はない。真空の誘電率を ${ϵ}_0$ とする。

円柱の内部で中心軸からの距離が $r$（$0<r<a$）の点 P における電場の大きさ $E$ を、${\rho }_0$, $a$, $r$, ${ϵ}_0$ を用いて表せ。

真空中に長さ $2a$ の細い直線導線 AB があり、A から B の向きに一定の電流 $I$ が流れている。AB の中点を M とし、M から AB に垂直な向きに距離 $a$ だけ離れた点を P とする。導線 AB の電流だけが点 P につくる磁束密度の大きさを、ビオ・サバールの法則
$$d\mathbf{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{Id\mathbf{l}\times \mathbf{r}}{r^3}$$
（$\mathbf{r}$ は電流要素 $Id\mathbf{l}$ から点 P へ向かうベクトル、${\mu }_0$ は真空の透磁率）を用いて、${\mu }_0$, $I$, $a$ で表せ。ただし、導線 AB 以外の部分（電流を流すための導線など）がつくる磁場は考えない。