磁気双極子放射

電気双極子放射の式で $p$ を $m / c$ に置き換えて、振動する磁気双極子モーメント $m (t)$ （例: 電流 $I (t)$ が流れる半径 $a$ の円形ループの $m = π a^{2} I$ ）の放射パワー $P = \frac{μ _{0} m ¨ ^{2}}{6 π c ^{3}}$ （時間平均では振幅 $m_{0}$ に対して $\frac{μ _{0} m _{0}^{2} ω ^{4}}{12 π c ^{3}}$ ）と角度分布 $\frac{d P}{d Ω} \propto sin^{2} θ$ を求められる

前提

電気双極子放射の角度分布（大学物理電磁波と電磁場）
ビオ・サバールの法則（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））

この技能までの道筋（152 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
因数分解（中学数学数と式）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
微分係数と導関数の定義（数学II 微分法と積分法）
多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
等間隔にならんだ数の和（算数計算と数のきまり）
等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
数列の極限（数学III 極限）
関数の極限（数学III 極限）
積と商の微分（数学III 微分法）
合成関数の微分（数学III 微分法）
偏微分と全微分（大学数学微分積分）
三角形の角の大きさ（算数平面図形）
対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
三角形の外角と角の組み合わせ（中学数学平面図形）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
二等辺三角形の角（中学数学平面図形）
平行四辺形と特別な四角形の性質（中学数学平面図形）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
折り返した図形の角と長さ（中学数学平面図形）
三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）
ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）
比の性質と簡単な比（算数割合と比）
相似な三角形と長さの比（算数平面図形）
三角形の相似条件と対応する辺の長さ（中学数学相似と三平方の定理）
三角比の定義と値（数学I 図形と計量）
内積となす角（数学C ベクトル）
位置ベクトルと内分点・外分点（数学C ベクトル）
交点の位置ベクトル（数学C ベクトル）
空間ベクトルと直線・平面（数学C ベクトル）
行列の和・積と 2 次の逆行列（大学数学線形代数）
樹形図で数え上げる（算数場合の数）
積の法則と和の法則（算数場合の数）
和の法則・積の法則と樹形図（数学A 場合の数と確率）
順列・円順列・重複順列（数学A 場合の数と確率）
行列式（大学数学線形代数）
空間ベクトルの外積（大学数学ベクトル解析）
勾配・発散・回転（大学数学ベクトル解析）
回路の性質と計器の使い方（中学理科物理分野の用語と知識）
電流と磁界・電磁誘導の用語（中学理科物理分野の用語と知識）
磁場と磁力線（高校物理電磁気と交流（知識））
電流がつくる磁場（右ねじの法則）（高校物理電磁気と交流（知識））
電磁誘導とレンツの法則・ファラデーの法則（高校物理電磁気と交流（知識））
円の周の長さと面積（算数平面図形）
おうぎ形の弧の長さと面積（算数平面図形）
弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める（中学数学平面図形）
弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）
音の伝わり方と大きさ・高さ（中学理科物理分野の用語と知識）
音の振動数と波形（中学理科光と音）
横波・縦波と波の要素（高校物理波動（知識））
交流の発生と実効値（高校物理電磁気と交流（知識））
自己誘導と相互誘導（高校物理電磁気と交流（知識））
力の種類とはたらき（中学理科物理分野の用語と知識）
静電気・放電と電子（中学理科物理分野の用語と知識）
帯電と電気量保存の法則（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
クーロンの法則と電場・電気力線（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
電位・等電位面と電場の関係（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
導体の静電誘導（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
不導体の誘電分極（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
コンデンサーの電気容量を決めるもの（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
電流の正体と電流の向き（高校物理電流と回路（知識））
オームの法則と抵抗率（高校物理電流と回路（知識））
実験器具の使い方と安全（中学理科化学分野の用語と知識）
状態変化と粒子・融点・沸点・蒸留（中学理科化学分野の用語と知識）
熱運動と絶対温度（高校物理熱と気体（知識））
電力・電力量とジュール熱（高校物理電流と回路（知識））
コイル・コンデンサーの交流に対するはたらき（高校物理電磁気と交流（知識））
コンデンサーの静電エネルギー（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
電気振動（高校物理電磁気と交流（知識））
電磁波の性質と種類（高校物理電磁気と交流（知識））
ガウスの法則（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
多項式の不定積分（数学II 微分法と積分法）
$sin x / x$ の極限（数学III 極限）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
三角関数の導関数（数学III 微分法）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
自然対数の底 $e$ （数学III 極限）
指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）
基本的な関数の不定積分（数学III 積分法）
置換積分（数学III 積分法）
部分積分（数学III 積分法）
定積分の計算（数学II 微分法と積分法）
定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（数学III 積分法）
重積分と累次積分（大学数学微分積分）
多変数の連鎖律（大学数学微分積分）
重積分の変数変換とヤコビアン（大学数学微分積分）
曲面の媒介変数表示と面積要素（大学数学ベクトル解析）
面積分と流束（大学数学ベクトル解析）
ガウスの法則による電場（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
ベクトル場の線積分（大学数学ベクトル解析）
電流がつくる磁場と磁場の合成（高校物理電磁気と交流）
アンペールの法則と重ね合わせ（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
抵抗の直列接続・並列接続（高校物理電流と回路（知識））
オームの法則と合成抵抗（高校物理電流と回路）
磁束と電磁誘導の法則（高校物理電磁気と交流）
磁束の積分と電磁誘導（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
マクスウェル方程式の微分形（大学物理電磁波と電磁場）
速さと平均の速さ（中学理科運動とエネルギー）
波の要素と波の基本式（高校物理波動）
正弦波の式（高校物理波動）
ベクトル解析の恒等式と積の公式（大学数学ベクトル解析）
真空中の平面電磁波（大学物理電磁波と電磁場）
保存場とポテンシャル（大学数学ベクトル解析）
電場の線積分と電位差（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
クーロンの法則（高校物理電場と電位・コンデンサー）
点電荷のつくる電場（高校物理電場と電位・コンデンサー）
重力と力の大きさ（中学理科力のはたらき）
2 力のつり合いと作用・反作用（中学理科力のはたらき）
重力・垂直抗力・張力の性質（高校物理力と運動（知識））
慣性の法則と力のつり合い（高校物理力と運動（知識））
力の分解と質点のつり合い（高校物理力と運動）
静止摩擦力・最大摩擦力・動摩擦力（高校物理力と運動（知識））
静止摩擦力と動摩擦力（高校物理力と運動）
仕事（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
一様な電場と電位差（高校物理電場と電位・コンデンサー）
電池につないだまま・切り離したコンデンサーの変化（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
コンデンサーの電気容量と電気量（高校物理電場と電位・コンデンサー）
コンデンサーの静電エネルギー（高校物理電場と電位・コンデンサー）
広義積分（大学数学微分積分）
静電場のエネルギー（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
オームの法則（中学理科電流と電圧）
電力と電力量（中学理科電流と電圧）
直列回路の電流・電圧・抵抗（中学理科電流と電圧）
並列回路の電流・電圧・抵抗（中学理科電流と電圧）
電熱線の発熱量と水の温度上昇（中学理科電流と電圧）
熱量と比熱・熱容量（高校物理熱と気体）
電力とジュール熱（高校物理電流と回路）
自己誘導とコイルのエネルギー（高校物理電磁気と交流）
相互誘導とソレノイドのインダクタンス（高校物理電磁気と交流）
インダクタンスと磁場のエネルギー（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
三角関数の積分（数学III 積分法）
ポインティングベクトルとエネルギー密度（大学物理電磁波と電磁場）
電気双極子放射の角度分布（大学物理電磁波と電磁場）
ビオ・サバールの法則（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））

説明

小さな円形ループに交流電流を流すと、ループは時間変化する磁気双極子モーメント $m (t)$ （半径 $a$ 、電流 $I (t)$ なら大きさ $m = π a^{2} I$ 、向きはループ面に垂直で右ねじの向き）をもち、電磁波を放射します。その放射は、電気双極子放射の式で $p$ を $m / c$ に置き換えるだけで求められ、角度分布は $\frac{d P}{d Ω} = \frac{μ _{0}}{16 π ^{2} c ^{3}} ∣ n \times m ¨ ∣^{2} \propto sin^{2} θ$ 、全放射パワーは $P = \frac{μ _{0} m ¨ ^{2}}{6 π c ^{3}}$ 、振幅 $m_{0}$ ・角振動数 $ω$ で振動するときの時間平均は $\frac{μ _{0} m _{0}^{2} ω ^{4}}{12 π c ^{3}}$ です。ループアンテナや原子・原子核の磁気双極子遷移の見積もりに使います（ループの大きさ $a$ は波長 $2 π c / ω$ より十分小さいとします）。

なぜそうしてよいのか

【静的な場どうしの対応】電気双極子 $p$ が遠方につくる電場は $E = \frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{3 ( p \cdot r ^ ) r ^ - p}{r ^{3}}$ です。一方、小さな電流ループがつくる磁場は、ビオ・サバールの法則で計算すると同じ形 $B = \frac{μ _{0}}{4 π} \frac{3 ( m \cdot r ^ ) r ^ - m}{r ^{3}}$ になり、その強さを決めるのが $m$ です。たとえば円電流の軸上の磁場 $B = \frac{μ _{0} I a ^{2}}{2 ( a ^{2} + z ^{2} ) ^{3/2}}$ は $z ≫ a$ で $\frac{μ _{0}}{4 π} \frac{2 π a ^{2} I}{z ^{3}}$ となり、上の式で $r^∥ m$ としたもの $\frac{μ _{0}}{4 π} \frac{2 m}{z ^{3}}$ と比べて $m = π a^{2} I$ （電流 × 面積）とわかります。ここで $μ_{0} c = \frac{1}{ε _{0} c}$ を使うと $c B = \frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{3 ( m / c \cdot r ^ ) r ^ - m / c}{r ^{3}}$ なので、「磁気双極子 $m$ の $c B$ 」は「電気双極子 $p = m / c$ の $E$ 」と同じ式です。

【放射でも対応が続く理由】電荷も電流もない真空中のマクスウェル方程式 $\nabla \cdot E = 0$ , $\nabla \cdot B = 0$ , $\nabla \times E = - \partial_{t} B$ , $\nabla \times B = \frac{1}{c ^{2}} \partial_{t} E$ は、 $E \to c B$ , $c B \to - E$ と入れ替えても同じ式の組に戻ります（代入して確かめられます）。双極子の外側は真空で、双極子のすぐ近くでは上のとおり場が対応しているので、外へ伝わる放射場もこの入れ替えで対応します。ポインティングベクトル $\frac{1}{μ _{0}} E \times B$ は入れ替えで変わらないので、放射パワーの式はすべて $p \to m / c$ とすればよいことになります。

【公式】電気双極子の $\frac{d P}{d Ω} = \frac{μ _{0}}{16 π ^{2} c} ∣ n \times p ¨ ∣^{2}$ から $\frac{d P}{d Ω} = \frac{μ _{0}}{16 π ^{2} c ^{3}} ∣ n \times m ¨ ∣^{2} = \frac{μ _{0} m ¨ ^{2}}{16 π ^{2} c ^{3}} sin^{2} θ$ （ $θ$ は $m$ の向き＝ループの軸からの角）。 $\int sin^{2} θ d Ω = 2 π \int_{0}^{π} sin^{3} θ d θ = \frac{8 π}{3}$ より $P = \frac{μ _{0} m ¨ ^{2}}{6 π c ^{3}}$ 。 $m = m_{0} cos ω t$ なら $m ¨ = - ω^{2} m_{0} cos ω t$ 、 $⟨ cos^{2} ω t ⟩ = \frac{1}{2}$ なので $⟨ P ⟩ = \frac{μ _{0} m _{0}^{2} ω ^{4}}{12 π c ^{3}}$ です。

手順

放射源の磁気双極子モーメントを求める。半径 $a$ の円形ループなら $m (t) = π a^{2} I (t)$ 、向きはループ面に垂直（右ねじの向き）。
$m (t)$ を時間で 2 回微分して $m ¨$ を求める。 $m = m_{0} cos ω t$ なら $m ¨ = - ω^{2} m_{0} cos ω t$ 。
角度分布は $\frac{d P}{d Ω} = \frac{μ _{0} m ¨ ^{2}}{16 π ^{2} c ^{3}} sin^{2} θ$ （ $θ$ はループの軸からの角）。軸方向には放射せず、ループ面内の方向に最も強い。
全放射パワーは $P = \frac{μ _{0} m ¨ ^{2}}{6 π c ^{3}}$ 。単振動なら時間平均 $⟨ P ⟩ = \frac{μ _{0} m _{0}^{2} ω ^{4}}{12 π c ^{3}}$ をとる。
ループの大きさが波長より十分小さい（ $aω / c ≪ 1$ ）ことを確認する。

例題

SI 単位系で考える（真空の透磁率 $μ_{0}$ 、光速 $c$ ）。真空中に置かれた半径 $a$ の円形ループに、電流 $I (t) = I_{0} cos ω t$ が流れている。 $aω / c ≪ 1$ として、このループが放射する全放射パワーの時間平均 $⟨ P ⟩$ を $μ_{0}, a, I_{0}, ω, c$ で表せ。

例題の解答

【手順 1】磁気双極子モーメントは $m (t) = π a^{2} I (t) = π a^{2} I_{0} cos ω t$ 。振幅は $m_{0} = π a^{2} I_{0}$ 。

【手順 2】 $m ¨ = - ω^{2} π a^{2} I_{0} cos ω t$ 。

【手順 3】角度分布は $\frac{d P}{d Ω} = \frac{μ _{0} ( π a ^{2} I _{0} ) ^{2} ω ^{4} c o s ^{2} ω t}{16 π ^{2} c ^{3}} sin^{2} θ$ （ループの軸方向 $θ = 0$ で 0、ループ面内 $θ = π /2$ で最大）。

【手順 4】全立体角で積分し時間平均をとると $⟨ P ⟩ = \frac{μ _{0} m _{0}^{2} ω ^{4}}{12 π c ^{3}} = \frac{μ _{0} π ^{2} a ^{4} I _{0}^{2} ω ^{4}}{12 π c ^{3}} = \frac{π μ _{0} a ^{4} I _{0}^{2} ω ^{4}}{12 c ^{3}} .$

【手順 5】 $aω / c ≪ 1$ の仮定のもとで双極子近似が使える。

答え: $\frac{π μ _{0} a ^{4} I _{0}^{2} ω ^{4}}{12 c ^{3}}$

よくある誤り

$p$ を $m / c$ ではなく $m$ に置き換え、 $P = \frac{μ _{0} m ¨ ^{2}}{6 π c}$ としてしまう誤り。次元も合わない。正しくは $c B$ と $E$ が対応するので $p \to m / c$ とし、 $P = \frac{μ _{0} m ¨ ^{2}}{6 π c ^{3}}$ 。
時間平均の $\frac{1}{2}$ を落として $⟨ P ⟩ = \frac{μ _{0} m _{0}^{2} ω ^{4}}{6 π c ^{3}}$ としてしまう誤り。 $⟨ cos^{2} ω t ⟩ = \frac{1}{2}$ なので、正しくは $⟨ P ⟩ = \frac{μ _{0} m _{0}^{2} ω ^{4}}{12 π c ^{3}}$ 。
磁気双極子モーメントを $m = 2 π a I$ （周の長さ × 電流）や $m = π a^{2} I / c$ としてしまう誤り。SI 単位では正しくは $m = (電流) \times (面積) = π a^{2} I$ で、放射パワーは $a^{4}$ に比例する。
角度 $θ$ をループ面から測り、ループ面内で放射が 0 になると考えてしまう誤り。 $θ$ は $m$ の向き、つまりループの軸から測る角で、 $\frac{d P}{d Ω} \propto sin^{2} θ$ は軸方向で 0、ループ面内の方向で最大になる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
真空中に、大きさ $m_{0}$ の一定の磁気双極子モーメント $m (t)$ をもつ小さな磁石がある。磁石は $z$ 軸のまわりに一定の角速度 $ω > 0$ で回転しており、 $m$ は $z$ 軸と常に角 $\frac{π}{6}$ をなしたまま、 $z$ 軸のまわりを角速度 $ω$ で回る。すなわち
$m (t) = m_{0} (sin \frac{π}{6} cos ω t, sin \frac{π}{6} sin ω t, cos \frac{π}{6})$
である。磁石の大きさは放射される電磁波の波長に比べて十分小さく、放射は磁気双極子放射だけを考えればよいとする。
磁気双極子モーメント $m (t)$ の全放射パワーが
$P = \frac{μ _{0} ∣ m ¨ ∣ ^{2}}{6 π c ^{3}}$
で与えられるとき、この磁石が放射する全パワー $P$ を、 $μ_{0}$ , $m_{0}$ , $ω$ , $c$ で表せ。ただし $μ_{0}$ は真空の透磁率、 $c$ は真空中の光速で、SI 単位系を用いる。