真空中の平面電磁波

真空中を $x$ 軸の正の向きに進む平面電磁波があり、電場が
$$\mathbf{E}(x,t)=(0,E_0\cos (kx-\omega t),0)$$
で表されている。ここで $E_0$ は正の定数、波数は $k=2.0rad/m$ であり、$\omega$ は正の定数である。真空中の光速を $c=3.0\times 10^{8}m/s$ とする。

この電磁波の角振動数 $\omega$ は何 $rad/s$ か。有効数字 2 桁で求めよ。

SI 単位系で考える。平面 $z=0$ を境界として、$z<0$ の領域は屈折率 $n=\sqrt{3}$ の一様な透明ガラスで満たされており、$z>0$ の領域は真空（屈折率 $1$）である。ガラスは非磁性（透磁率は真空の透磁率 ${\mu }_0$ に等しい）で、光を吸収しない。境界面は $xy$ 平面に平行で十分に広く、境界面に電荷や電流はない。

真空中での波長が ${\lambda }_0$ の単色の平面電磁波が、ガラス側から境界面に入射角 $\frac{\pi }{3}$ で入射する。入射角は、境界面の法線（$z$ 軸）と波の進行方向のなす角である。入射面は $xz$ 平面とする。このとき全反射が起こり、真空側 $z>0$ にはエバネッセント波が生じる。その電場の振幅は、$z$ とともに $\exp \left(-\frac{z}{\delta }\right)$ の形で減衰する（$\delta >0$）。

振幅の減衰の長さ $\delta$ と真空中の波長 ${\lambda }_0$ の比 $\frac{\delta }{{\lambda }_0}$ を求めよ。答えは、根号と $\pi$ を用いた正確な値で表せ。

SI 単位系で、真空中（真空の透磁率 ${\mu }_0$、真空中の光速 $c$）を伝わる平面電磁波を考える。$xyz$ 直交座標系で、この電磁波の電場は
$$\mathbf{E}=\left(0,E_0\cos \left(\frac{k}{2}x+\frac{\sqrt{3}k}{2}z-\omega t\right),0\right)$$
で与えられる。ここで $E_0$, $k$, $\omega$ は正の定数で、$\omega =ck$ を満たす。また、磁場には時間に依存しない成分はないものとする。

平面 $z=0$ 上にある、原点を中心とする半径 $R$ の円板を考える。この円板を $z$ 軸の正の向きに通過する電磁場のエネルギーの、単位時間あたりの量（ポインティングベクトルの円板上での面積分）を、電磁波の 1 周期にわたって時間平均した値を、$E_0$, $R$, ${\mu }_0$, $c$ を用いて表せ。

SI 単位系で、電荷も電流もない真空中に、電場が
$$\mathbf{E}(x,y,z,t)=\left(0,0,E_0\cos (qy)\cos (px-\omega t)\right)$$
で表される電磁場がある。ここで $E_0,p,q,\omega$ は正の定数であり、$\omega$ はこの電場がマクスウェル方程式を満たすように定まっている。磁場 $\mathbf{B}$ は時間的に振動する成分だけからなり、時間によらない成分は含まないものとする。真空の誘電率を ${\epsilon }_0$、透磁率を ${\mu }_0$、光速を $c=1/\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}$ とする。

ポインティングベクトルを $\mathbf{S}=\frac{1}{{\mu }_0}\mathbf{E}\times \mathbf{B}$、電磁場のエネルギー密度を $u=\frac{{\epsilon }_0}{2}|\mathbf{E}{|}^2+\frac{1}{2{\mu }_0}|\mathbf{B}{|}^2$ とし、$S_x$ と $u$ をそれぞれ時間について 1 周期、$y$ について 1 周期（$0\le y\le 2\pi /q$）にわたって平均したものを $\overline{S_x}$、$\overline{u}$ とする。$x$ 方向のエネルギー輸送の速さ $v_E=\frac{\overline{S_x}}{\overline{u}}$ を、$p,q,c$ を用いて求めよ。

SI 単位系で、$z>0$ の空間を一様な導電性の媒質が満たしている。この媒質の誘電率は真空の誘電率 ${\epsilon }_0$、透磁率は真空の透磁率 ${\mu }_0$ に等しく、電気伝導率は $\sigma$ で、電流密度はオームの法則 $\mathbf{J}=\sigma \mathbf{E}$ に従う。媒質の内部では電荷密度は $0$ とする。光速を $c=1/\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}$ とする。

この媒質の中を、角振動数 $\omega (>0)$ の単色の平面電磁波が $z$ 軸の正の向きに進んでいる。電場は $x$ 成分だけをもち、複素表示で
$$E_x(z,t)=\mathrm{Re}\left[E_0{e}^{i(kz-\omega t)}\right]$$
と書ける（$E_0$ は定数、$k$ は複素数の波数で $\mathrm{Re}k>0$）。伝導率が $\sigma =\sqrt{3}{\epsilon }_0\omega$ であるとき、電場の振幅が $\frac{1}{e}$ 倍になるまでに波が進む距離（振幅の減衰長）を、$c$, $\omega$ を用いて表せ。

SI 単位系を用いる。真空中の光速を $c$ とする。

$x$ 軸に垂直な、厚さ $d$ の平板状のプラズマが領域 $0<x<d$ にあり、$y,z$ 方向には無限に広がっている。$x<0$ と $x>d$ は真空である。プラズマは電子密度 $n_0$ の一様な冷たいプラズマで、次のように扱う。
- 電子（電荷 $-e$、質量 $m_e$）の熱運動と衝突は無視する。
- イオンは重いので静止しているとみなす。
- 静磁場はない。
- 波の振幅は小さく、線形近似が成り立つ。

プラズマ振動数を ${\omega }_p=\sqrt{\frac{n_0{e}^2}{{\epsilon }_0{m}_e}}$ とする（${\epsilon }_0$ は真空の誘電率）。プラズマの透磁率は真空の透磁率 ${\mu }_0$ に等しく、$c=1/\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}$ である。

$x<0$ の側から、電場が $y$ 方向を向いた角振動数 $\omega$ の平面電磁波が $x$ 軸の正の向きに垂直入射する。ここで
$$\omega =\frac{\sqrt{3}}{2}{\omega }_p,d=\frac{2c\log 2}{{\omega }_p}$$
とする。入射波のエネルギー流密度（ポインティングベクトルの時間平均）に対する、$x>d$ へ透過する波のエネルギー流密度の比（透過率）$T$ を、既約分数で求めよ。