ポインティングベクトルとエネルギー密度

SI 単位系で、真空中（真空の透磁率 ${\mu }_0$、真空中の光速 $c$）を $z$ 軸の正の向きに進む平面電磁波があり、その電場と磁束密度は
$$\mathbf{E}=\left(c{B}_0\cos (kz-\omega t),0,0\right),\mathbf{B}=\left(0,B_0\cos (kz-\omega t),0\right)$$
で表される。ここで $B_0$, $k$, $\omega$ は正の定数である。この電磁波の強度（ポインティングベクトルの大きさの 1 周期にわたる時間平均）を $I_0$ とする。磁束密度の振幅 $B_0$ を $I_0$, ${\mu }_0$, $c$ を用いて表せ。

真空中を進む平行な単色の平面電磁波（光）が、静止した平らな鏡の面に入射角 $\frac{\pi }{3}$（鏡の面の法線と波の進行方向のなす角）で当たっている。入射波の強度（ポインティングベクトルの大きさの時間平均）は $S_0$ である。鏡は完全反射体で光を吸収・透過せず、光は反射の法則に従って正反射する。真空中の光速を $c$ とする。

鏡が光から受ける、鏡の面に垂直な向きの力の、鏡の単位面積あたりの大きさ（放射圧）の時間平均を、$S_0,c$ を用いて求めよ。

SI 単位系で、真空中（真空の透磁率 ${\mu }_0$、真空中の光速 $c$）を伝わる平面電磁波を考える。$xyz$ 直交座標系で、この電磁波の電場は
$$\mathbf{E}=\left(0,E_0\cos \left(\frac{k}{2}x+\frac{\sqrt{3}k}{2}z-\omega t\right),0\right)$$
で与えられる。ここで $E_0$, $k$, $\omega$ は正の定数で、$\omega =ck$ を満たす。また、磁場には時間に依存しない成分はないものとする。

平面 $z=0$ 上にある、原点を中心とする半径 $R$ の円板を考える。この円板を $z$ 軸の正の向きに通過する電磁場のエネルギーの、単位時間あたりの量（ポインティングベクトルの円板上での面積分）を、電磁波の 1 周期にわたって時間平均した値を、$E_0$, $R$, ${\mu }_0$, $c$ を用いて表せ。

SI 単位系で、電荷も電流もない真空中に、電場が
$$\mathbf{E}(x,y,z,t)=\left(0,0,E_0\cos (qy)\cos (px-\omega t)\right)$$
で表される電磁場がある。ここで $E_0,p,q,\omega$ は正の定数であり、$\omega$ はこの電場がマクスウェル方程式を満たすように定まっている。磁場 $\mathbf{B}$ は時間的に振動する成分だけからなり、時間によらない成分は含まないものとする。真空の誘電率を ${\epsilon }_0$、透磁率を ${\mu }_0$、光速を $c=1/\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}$ とする。

ポインティングベクトルを $\mathbf{S}=\frac{1}{{\mu }_0}\mathbf{E}\times \mathbf{B}$、電磁場のエネルギー密度を $u=\frac{{\epsilon }_0}{2}|\mathbf{E}{|}^2+\frac{1}{2{\mu }_0}|\mathbf{B}{|}^2$ とし、$S_x$ と $u$ をそれぞれ時間について 1 周期、$y$ について 1 周期（$0\le y\le 2\pi /q$）にわたって平均したものを $\overline{S_x}$、$\overline{u}$ とする。$x$ 方向のエネルギー輸送の速さ $v_E=\frac{\overline{S_x}}{\overline{u}}$ を、$p,q,c$ を用いて求めよ。

SI 単位系で、内部が真空の、まっすぐで十分に長い長方形の中空導波管がある。管軸を $z$ 軸とし、断面は $0\le x\le a$、$0\le y\le \frac{a}{2}$ である。管の中を、角振動数
$$\omega =\frac{3\pi c}{2a}$$
の ${\mathrm{TE}}_{10}$ モードの電磁波が $z$ 軸の正の向きに伝わっている。ここで $c$ は真空中の光速、$Z_0=\sqrt{{\mu }_0/{\epsilon }_0}$ は真空の特性インピーダンスである。

管の壁は完全導体ではなく、電気伝導率が大きい非磁性の良導体でできている。この角振動数での壁の表面抵抗を $R_s=\sqrt{\frac{\omega {\mu }_0}{2\sigma }}$（$\sigma$ は壁の電気伝導率）とする。表皮深さは $a$ に比べて十分小さく、損失は小さいとして、次の近似を用いよ。

• 管内の電磁場の分布は、壁が完全導体の場合の ${\mathrm{TE}}_{10}$ モードの電磁場で近似できる。
• 壁の表面に沿った磁場の複素振幅を $H_{\parallel }$ とすると、壁の単位面積あたりで消費される電力の時間平均は $\frac{1}{2}{R}_s|H_{\parallel }{|}^2$ である。

壁でのジュール損失のために、電磁場の振幅は $e^{-\alpha z}$ に比例して減衰する（伝わる電力は $e^{-2\alpha z}$ に比例する）。減衰定数 $\alpha$ を $R_s$、$Z_0$、$a$ を用いて表せ。

SI 単位系で、真空中に、$z$ 軸を共通の中心軸とする、半径 $a$ の導体円柱（内導体）と内半径 $b(b>a)$ の導体円筒（外導体）からなる、長さ $L$ のまっすぐな同軸ケーブルがある。内導体と外導体のあいだは真空である。ケーブルの一端には直流電源が、他端には抵抗がつながれていて、内導体の電位は外導体より $V(V>0)$ だけ高く保たれ、内導体には $z$ 軸の正の向きに、外導体には負の向きに、それぞれ大きさ $I(I>0)$ の一定の電流が流れている。

ケーブルの両端付近の場の乱れは無視し、内導体と外導体のあいだ（$a<r<b$、$r$ は中心軸からの距離）の電場と磁場は、十分長い同軸ケーブルの静的な場と同じであるとする。また、導体の抵抗は無視でき、両導体の電位はそれぞれ長さ方向に一定とみなす。真空の誘電率と透磁率を ${\epsilon }_0$, ${\mu }_0$、光速を $c=1/\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}$ とする。

電磁場の運動量密度を $\mathbf{g}={\epsilon }_0\mathbf{E}\times \mathbf{B}$ として、内導体と外導体のあいだの領域（$a<r<b$、長さ $L$）にある電磁場の運動量の大きさを、$V$, $I$, $L$, $c$ を用いて表せ。

SI 単位系で、管軸を $z$ 軸とし、断面が $0\le x\le a$、$0\le y\le \frac{a}{3}$ の長方形である、まっすぐで無限に長い中空導波管がある。壁は完全導体である。導波管の内部は、$z<0$ の部分が真空、$z>0$ の部分が比誘電率 ${\epsilon }_r=\frac{5}{2}$ の一様な誘電体で隙間なく満たされている。誘電体は非磁性（透磁率は真空の透磁率 ${\mu }_0$ に等しい）で、損失はない。真空中の光速を $c$ とする。

$z<0$ の側から、角振動数 $\omega =\frac{\sqrt{2}\pi c}{a}$ の ${\mathrm{TE}}_{10}$ モード（電場が $y$ 成分だけをもち、その大きさが $\sin \frac{\pi x}{a}$ に比例するモード）が $+z$ 向きに進んで境界面 $z=0$ に入射する。$z>0$ の誘電体の部分には $-z$ 向きに進む波はないものとする。

入射波が運ぶ時間平均の電力に対する、$z>0$ の部分へ透過する波が運ぶ時間平均の電力の比を、既約分数で求めよ。

SI 単位系で、電荷も電流もない一様な一軸性結晶の中を伝わる単色の平面電磁波を考える。結晶は光を吸収せず、非磁性（透磁率は真空の透磁率 ${\mu }_0$）である。結晶の光学軸を $z$ 軸にとると、電束密度 $\mathbf{D}$ と電場 $\mathbf{E}$ は
$$D_x=4{\epsilon }_0{E}_x,D_y=4{\epsilon }_0{E}_y,D_z=9{\epsilon }_0{E}_z$$
の関係で結ばれている（${\epsilon }_0$ は真空の誘電率）。

この結晶中を、すべての場の成分が $\exp \{i(\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}-\omega t)\}$ に比例する平面波が伝わる。波数ベクトル $\mathbf{k}$ は $xz$ 平面内にあり、$z$ 軸となす角は $\theta \left(0<\theta <\frac{\pi }{2}\right)$ である。また、電場 $\mathbf{E}$ は $xz$ 平面内で振動している。

時間平均したポインティングベクトル $⟨\mathbf{S}⟩$ と波数ベクトル $\mathbf{k}$ のなす角を $\rho \left(0\leqq \rho <\frac{\pi }{2}\right)$ とする。$\theta$ を $0<\theta <\frac{\pi }{2}$ の範囲で変えたときの $\tan \rho$ の最大値を、既約分数で求めよ。