電気双極子放射の角度分布

$\frac{d P}{d Ω} = \frac{μ _{0}}{16 π ^{2} c} ∣ n \times p ¨ ∣^{2}$ を使い、振動・回転する双極子が各方向へ放射する電力（ $sin^{2} θ$ 分布など）とその時間平均を求められる

前提

ポインティングベクトルとエネルギー密度（大学物理電磁波と電磁場）

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算数中学高校大学大学院

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電場の線積分と電位差（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
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点電荷のつくる電場（高校物理電場と電位・コンデンサー）
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2 力のつり合いと作用・反作用（中学理科力のはたらき）
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静止摩擦力と動摩擦力（高校物理力と運動）
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並列回路の電流・電圧・抵抗（中学理科電流と電圧）
電熱線の発熱量と水の温度上昇（中学理科電流と電圧）
熱量と比熱・熱容量（高校物理熱と気体）
電力とジュール熱（高校物理電流と回路）
自己誘導とコイルのエネルギー（高校物理電磁気と交流）
相互誘導とソレノイドのインダクタンス（高校物理電磁気と交流）
インダクタンスと磁場のエネルギー（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
三角関数の積分（数学III 積分法）
ポインティングベクトルとエネルギー密度（大学物理電磁波と電磁場）

説明

電気双極子モーメント $p (t)$ が時間とともに振動したり回転したりすると、電磁波が放射されます。この技能では、単位立体角あたりの放射電力の公式 $\frac{d P}{d Ω} = \frac{μ _{0}}{16 π ^{2} c} ∣ n \times p ¨ ∣^{2}$ （ $n$ は観測方向の単位ベクトル）を使い、どの方向に強く放射されるか（角度分布）と、その時間平均・全放射電力を求めます。アンテナの指向性、原子による光の散乱（空が青く見える理由）、回転する分子や連星からの放射などを考えるときに使います。

なぜそうしてよいのか

双極子から遠く離れた場所（距離 $r$ が波長よりずっと大きい所）では、電場と磁場は局所的に平面波のようにふるまい、 $n$ の向きに進みます。そこでの電場は
$E = \frac{μ _{0}}{4 π r} n \times (n \times p ¨), B = \frac{1}{c} n \times E$
で与えられます（ $p ¨$ は信号が光速で届くのにかかる時間 $r / c$ だけ前の時刻の値）。この形には次の理由があります。(1) 電磁波は横波なので、 $p ¨$ のうち $n$ に垂直な成分だけが電場をつくる。 $n \times (n \times p ¨)$ はちょうど「 $p ¨$ の $n$ に垂直な成分の $- 1$ 倍」で、大きさは $∣ n \times p ¨ ∣$ です。(2) 放射される電力は遠くまで減らずに届くので、半径 $r$ の球面（面積 $\propto r^{2}$ ）を通るエネルギーが $r$ によらないためには、 $S \propto E^{2} \propto 1/ r^{2}$ 、つまり $E \propto 1/ r$ でなければならない。(3) 加速する電荷が放射を出すので、 $p$ の 2 階微分（電荷の加速度に電荷を掛けたもの）に比例する。

この $E$ 、 $B$ は互いに垂直で $∣ B ∣ = ∣ E ∣/ c$ なので、ポインティングベクトルは $S = \frac{1}{μ _{0}} E \times B = \frac{E ^{2}}{μ _{0} c} n$ 、その大きさは $\frac{μ _{0}}{16 π ^{2} c r ^{2}} ∣ n \times p ¨ ∣^{2}$ です。方向 $n$ のまわりの小さな立体角 $d Ω$ が球面上で切り取る面積は $r^{2} d Ω$ なので、 $d P = S r^{2} d Ω$ となり、 $r$ が消えて公式 $\frac{d P}{d Ω} = \frac{μ _{0}}{16 π ^{2} c} ∣ n \times p ¨ ∣^{2}$ が得られます。

例えば $z$ 軸方向に振動する双極子 $p = p_{0} cos ω t z^$ では $p ¨ = - ω^{2} p_{0} cos ω t z^$ 、 $∣ n \times z^∣ = sin θ$ （ $θ$ は $z$ 軸からの角）なので、 $cos^{2} ω t$ の時間平均 $\frac{1}{2}$ を使って
$⟨ \frac{d P}{d Ω} ⟩ = \frac{μ _{0} p _{0}^{2} ω ^{4}}{32 π ^{2} c} sin^{2} θ$
となります。振動の軸方向（ $θ = 0, π$ ）には全く放射せず、軸に垂直な方向で最大です。全立体角で積分すると、 $d Ω = sin θ d θ d φ$ と $\int_{0}^{π} sin^{3} θ d θ = \frac{4}{3}$ から $\int sin^{2} θ d Ω = \frac{8 π}{3}$ で、 $⟨ P ⟩ = \frac{μ _{0} p _{0}^{2} ω ^{4}}{12 π c}$ です。 $x y$ 平面内で回転する双極子 $p = p_{0} (cos ω t, sin ω t, 0)$ なら、 $∣ n \times p ¨ ∣^{2} = ∣ p ¨ ∣^{2} - (n \cdot p ¨)^{2}$ の時間平均が $ω^{4} p_{0}^{2} \frac{1 + cos ^{2} θ}{2}$ となります。

手順

双極子モーメント $p (t)$ を成分で書き、2 回時間微分して $p ¨$ を求める
観測方向の単位ベクトルを $n = (sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ)$ とおき、 $∣ n \times p ¨ ∣^{2} = ∣ p ¨ ∣^{2} - (n \cdot p ¨)^{2}$ を計算する（1 方向の振動なら $∣ p ¨ ∣^{2} sin^{2} θ$ ）
$\frac{d P}{d Ω} = \frac{μ _{0}}{16 π ^{2} c} ∣ n \times p ¨ ∣^{2}$ に代入する
時間平均をとる。 $⟨ cos^{2} ω t ⟩ = ⟨ sin^{2} ω t ⟩ = \frac{1}{2}$ 、 $⟨ sin ω t cos ω t ⟩ = 0$ を使う
全放射電力が必要なら $d Ω = sin θ d θ d φ$ で全立体角にわたって積分する（ $\int sin^{2} θ d Ω = \frac{8 π}{3}$ ）

例題

真空中で、原点にある電気双極子のモーメントが $p (t) = p_{0} cos ω t z^$ （ $p_{0}, ω$ は正の定数）と振動している。単位立体角あたりの放射電力は $\frac{d P}{d Ω} = \frac{μ _{0}}{16 π ^{2} c} ∣ n \times p ¨ ∣^{2}$ （ $n$ は観測方向の単位ベクトル、 $μ_{0}$ は真空の透磁率、 $c$ は光速）で与えられるとする。 $z$ 軸の正の向きとなす角が $θ = \frac{π}{4}$ の方向への $\frac{d P}{d Ω}$ の時間平均を、 $μ_{0}, p_{0}, ω, c$ を用いて求めよ。

例題の解答

手順 1: $p ¨ = - ω^{2} p_{0} cos ω t z^$ 。

手順 2: $p ¨$ は $z$ 方向だけなので、 $∣ n \times p ¨ ∣^{2} = ω^{4} p_{0}^{2} cos^{2} ω t ∣ n \times z^∣^{2} = ω^{4} p_{0}^{2} cos^{2} ω t sin^{2} θ$ 。

手順 3:
$\frac{d P}{d Ω} = \frac{μ _{0} ω ^{4} p _{0}^{2}}{16 π ^{2} c} cos^{2} ω t sin^{2} θ$

手順 4: $⟨ cos^{2} ω t ⟩ = \frac{1}{2}$ より $⟨ \frac{d P}{d Ω} ⟩ = \frac{μ _{0} p _{0}^{2} ω ^{4}}{32 π ^{2} c} sin^{2} θ$ 。 $θ = \frac{π}{4}$ では $sin^{2} θ = \frac{1}{2}$ なので
$⟨ \frac{d P}{d Ω} ⟩ = \frac{μ _{0} p _{0}^{2} ω ^{4}}{64 π ^{2} c}$

答え: $\frac{μ _{0} p _{0}^{2} ω ^{4}}{64 π ^{2} c}$

よくある誤り

角度分布を $cos^{2} θ$ としてしまう誤り。放射をつくるのは $p ¨$ の観測方向に垂直な成分なので、 $z$ 方向の振動では $∣ n \times z^∣^{2} = sin^{2} θ$ に比例し、振動の軸方向（ $θ = 0$ ）への放射は 0 になる。
時間平均を忘れて振幅の値 $\frac{μ _{0} p _{0}^{2} ω ^{4}}{16 π ^{2} c} sin^{2} θ$ を答えてしまう誤り。 $cos^{2} ω t$ の平均は $\frac{1}{2}$ なので、正しくは $\frac{μ _{0} p _{0}^{2} ω ^{4}}{32 π ^{2} c} sin^{2} θ$ 。
$p ¨$ の大きさを $ω p_{0}$ や $ω^{2} p_{0}$ の 1 乗で放射電力に入れ、 $ω$ のべきを誤る誤り。 $∣ p ¨ ∣ = ω^{2} p_{0} ∣ cos ω t ∣$ が 2 乗されるので放射電力は $ω^{4}$ に比例する（振動数が 2 倍なら放射は 16 倍）。
回転する双極子 $p = p_{0} (cos ω t, sin ω t, 0)$ でも $sin^{2} θ$ 分布になるとしてしまう誤り。 $(n \cdot p ¨)^{2}$ の時間平均が $\frac{1}{2} ω^{4} p_{0}^{2} sin^{2} θ$ なので、正しくは $⟨ \frac{d P}{d Ω} ⟩ = \frac{μ _{0} p _{0}^{2} ω ^{4}}{32 π ^{2} c} (1 + cos^{2} θ)$ で、回転軸の方向（ $θ = 0$ ）が最も強い。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
真空中の原点に、 $z$ 軸方向に振動する電気双極子モーメント
$p (t) = (0, 0, p_{0} cos ω t)$
がある。ここで $p_{0}$ , $ω$ は正の定数である。真空の透磁率を $μ_{0}$ 、真空中の光速を $c$ とし、遠方で単位立体角あたりに放射される電力は
$\frac{d P}{d Ω} = \frac{μ _{0}}{16 π ^{2} c} ∣ n \times p ¨ ∣^{2}$
で与えられるとする（ $n$ は観測方向の単位ベクトル、 $p ¨$ は $p$ の時間についての 2 階微分）。
$z$ 軸の正の向きとのなす角が $θ = \frac{π}{3}$ の方向について、 $\frac{d P}{d Ω}$ の 1 周期にわたる時間平均を $μ_{0}$ , $p_{0}$ , $ω$ , $c$ を用いて表せ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

ラーモアの公式と全放射電力（大学物理電磁波と電磁場）
磁気双極子放射（大学院物理発展的な電磁気学（放射・相対論的電磁気学））
電気四重極放射（大学院物理発展的な電磁気学（放射・相対論的電磁気学））
トムソン散乱の断面積（大学院物理発展的な電磁気学（放射・相対論的電磁気学））