電気四重極放射

電荷分布の四重極モーメント $Q_{ij} = \sum q (3 x_{i} x_{j} - r^{2} δ_{ij})$ を時間の関数として書き、その 3 階時間微分から放射パワー $P = \frac{1}{1440 π ε _{0} c ^{5}} Q ..._{ij} Q ..._{ij}$ （例: 軸上で逆向きに振動する 2 つの電荷）を求め、電気双極子放射との大きさの比が $(k a)^{2}$ の程度であることを評価できる

前提

電気双極子放射の角度分布（大学物理電磁波と電磁場）

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算数中学高校大学大学院

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多項式の不定積分（数学II 微分法と積分法）
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加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
三角関数の導関数（数学III 微分法）
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指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
自然対数の底 $e$ （数学III 極限）
指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）
基本的な関数の不定積分（数学III 積分法）
置換積分（数学III 積分法）
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定積分の計算（数学II 微分法と積分法）
定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（数学III 積分法）
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磁束と電磁誘導の法則（高校物理電磁気と交流）
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マクスウェル方程式の微分形（大学物理電磁波と電磁場）
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クーロンの法則（高校物理電場と電位・コンデンサー）
点電荷のつくる電場（高校物理電場と電位・コンデンサー）
重力と力の大きさ（中学理科力のはたらき）
2 力のつり合いと作用・反作用（中学理科力のはたらき）
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力の分解と質点のつり合い（高校物理力と運動）
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静止摩擦力と動摩擦力（高校物理力と運動）
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電池につないだまま・切り離したコンデンサーの変化（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
コンデンサーの電気容量と電気量（高校物理電場と電位・コンデンサー）
コンデンサーの静電エネルギー（高校物理電場と電位・コンデンサー）
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オームの法則（中学理科電流と電圧）
電力と電力量（中学理科電流と電圧）
直列回路の電流・電圧・抵抗（中学理科電流と電圧）
並列回路の電流・電圧・抵抗（中学理科電流と電圧）
電熱線の発熱量と水の温度上昇（中学理科電流と電圧）
熱量と比熱・熱容量（高校物理熱と気体）
電力とジュール熱（高校物理電流と回路）
自己誘導とコイルのエネルギー（高校物理電磁気と交流）
相互誘導とソレノイドのインダクタンス（高校物理電磁気と交流）
インダクタンスと磁場のエネルギー（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
三角関数の積分（数学III 積分法）
ポインティングベクトルとエネルギー密度（大学物理電磁波と電磁場）
電気双極子放射の角度分布（大学物理電磁波と電磁場）

説明

電荷分布の電気双極子モーメントが時間変化しない（たとえば対称に動く電荷の組）と電気双極子放射は起こりませんが、その次の近似として四重極モーメント $Q_{ij} = \sum q (3 x_{i} x_{j} - r^{2} δ_{ij})$ の時間変化による放射（電気四重極放射）が残ります。全放射パワーは各瞬間に $P = \frac{1}{720 π ε _{0} c ^{5}} i, j \sum Q ..._{ij} Q ..._{ij}$ で、 $Q_{ij} (t) = Q_{ij}^{(0)} cos Ω t$ と単振動するときの時間平均は $⟨ P ⟩ = \frac{Ω ^{6}}{1440 π ε _{0} c ^{5}} \sum Q_{ij}^{(0)} Q_{ij}^{(0)}$ です。大きさ $a$ の源から波数 $k = ω / c$ の波が出るとき、四重極放射は双極子放射の $(k a)^{2}$ 程度しかなく、双極子放射が禁じられた原子・原子核の遷移や、重力波（質量の四重極放射）の見積もりに使われます。

なぜそうしてよいのか

【双極子の次の項】遠方 $r$ でのベクトルポテンシャルは、源の各点の電流を、そこから観測点まで光が届く時間だけ前の値で足し合わせたものです。源の中の点 $r^{'}$ からの距離は $r - n \cdot r^{'}$ （ $n$ は観測方向の単位ベクトル）なので、 $A = \frac{μ _{0}}{4 π r} \sum q v (t - \frac{r}{c} + \frac{n \cdot r ^{'}}{c}) \approx \frac{μ _{0}}{4 π r} [p ˙ + \frac{1}{c} \frac{d}{d t} \sum q v (n \cdot r^{'})]$ と、遅れの差 $n \cdot r^{'} / c$ について展開できます。第 1 項が電気双極子放射です。第 2 項の $\sum q v_{i} x_{j}$ のうち $i, j$ について対称な部分は $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} \sum q x_{i} x_{j}$ で、 $\sum q x_{i} x_{j} = \frac{1}{3} (Q_{ij} + δ_{ij} \sum q r^{2})$ です（反対称な部分は磁気双極子放射を与えるので、ここでは除きます）。 $δ_{ij}$ の部分は $n$ に平行なベクトルを与えますが、放射場は $n \times (\dots)$ で決まるので効きません。結局、四重極の放射は、双極子の式の $p ¨$ を $p ¨_{eff} = \frac{1}{6 c} Q ... n ((Q ... n)_{i} = j \sum Q ..._{ij} n_{j})$ に置き換えたものになり、 $\frac{d P}{d Ω} = \frac{μ _{0}}{16 π ^{2} c} \cdot \frac{1}{36 c ^{2}} ∣ n \times (Q ... n) ∣^{2}$ です。

【全立体角で積分】 $∣ n \times w ∣^{2} = ∣ w ∣^{2} - (n \cdot w)^{2}$ と、球面上の平均 $\int n_{i} n_{j} d Ω = \frac{4 π}{3} δ_{ij}$ 、 $\int n_{i} n_{j} n_{k} n_{l} d Ω = \frac{4 π}{15} (δ_{ij} δ_{k l} + δ_{ik} δ_{j l} + δ_{i l} δ_{j k})$ （極座標で直接確かめられる）を使います。 $Q_{ij}$ は対称で $\sum_{i} Q_{ii} = 0$ なので $\int ∣ n \times (Q ... n) ∣^{2} d Ω = (\frac{4 π}{3} - \frac{8 π}{15}) \sum Q ..._{ij}^{2} = \frac{4 π}{5} \sum Q ..._{ij}^{2}$ 。これと $μ_{0} = \frac{1}{ε _{0} c ^{2}}$ から $P = \frac{1}{720 π ε _{0} c ^{5}} \sum Q ..._{ij}^{2}$ を得ます。単振動では $⟨ cos^{2} ⟩ = \frac{1}{2}$ により振幅で書いた $\frac{Ω ^{6}}{1440 π ε _{0} c ^{5}} \sum (Q_{ij}^{(0)})^{2}$ になります。

【双極子放射との比】電荷 $q$ が大きさ $a$ の範囲を角振動数 $ω$ で動くとき、 $p \sim q a$ なので双極子放射は $\sim \frac{q ^{2} a ^{2} ω ^{4}}{ε _{0} c ^{3}}$ 、 $Q \sim q a^{2}$ なので四重極放射は $\sim \frac{q ^{2} a ^{4} ω ^{6}}{ε _{0} c ^{5}}$ 。比は $(\frac{ω a}{c})^{2} = (k a)^{2}$ の程度で、源が波長より小さいほど四重極放射は弱くなります。展開の小さなパラメータ $n \cdot r^{'} / c$ を時間変化の速さ $ω$ で測ったものが $k a$ であることの現れです。

手順

各電荷の位置 $r (t)$ を書き、電気双極子モーメント $p = \sum q r$ が時間変化しない（またはしても別に扱う）ことを確かめる。
四重極モーメント $Q_{ij} (t) = \sum q (3 x_{i} x_{j} - r^{2} δ_{ij})$ の各成分を時間の関数として書く。対称（ $Q_{ij} = Q_{j i}$ ）で $Q_{xx} + Q_{y y} + Q_{z z} = 0$ になることを確認する。
$Q_{ij}$ を時間で 3 回微分する。 $cos^{2} ω t = \frac{1}{2} (1 + cos 2 ω t)$ のように書き直すと、放射の角振動数（この例では $2 ω$ ）がわかる。
$P = \frac{1}{720 π ε _{0} c ^{5}} \sum_{i, j} Q ..._{ij}^{2}$ に代入し、必要なら時間平均をとる（振幅 $Q_{ij}^{(0)}$ 、角振動数 $Ω$ の単振動なら $\frac{Ω ^{6}}{1440 π ε _{0} c ^{5}} \sum (Q_{ij}^{(0)})^{2}$ ）。
双極子放射の大きさ $\frac{q ^{2} a ^{2} ω ^{4}}{12 π ε _{0} c ^{3}}$ 程度と比べ、比が $(k a)^{2} = (ω a / c)^{2}$ の程度であることを確かめる。

例題

SI 単位系で考える（真空の誘電率 $ε_{0}$ 、光速 $c$ ）。電荷 $q$ をもつ 2 つの点電荷が $z$ 軸上にあり、時刻 $t$ での位置は $z = a cos ω t$ と $z = - a cos ω t$ である（ $aω ≪ c$ ）。この電荷系の電気双極子モーメントは常に 0 である。電気四重極放射の全放射パワーの時間平均 $⟨ P ⟩$ を $q, a, ω, ε_{0}, c$ で表せ。

例題の解答

【手順 1】 $p = q (a cos ω t) z^+ q (- a cos ω t) z^= 0$ で、双極子放射はない。

【手順 2】各電荷は $x = y = 0$ , $r^{2} = z^{2} = a^{2} cos^{2} ω t$ なので $Q_{z z} = \sum q (3 z^{2} - z^{2}) = 4 q a^{2} cos^{2} ω t, Q_{xx} = Q_{y y} = - 2 q a^{2} cos^{2} ω t,$ 非対角成分は 0。和は $0$ で確かに対角和 0。

【手順 3】 $cos^{2} ω t = \frac{1}{2} (1 + cos 2 ω t)$ より $Q_{z z} = 2 q a^{2} (1 + cos 2 ω t)$ , $Q_{xx} = Q_{y y} = - q a^{2} (1 + cos 2 ω t)$ 。放射の角振動数は $2 ω$ である。 $\frac{d ^{3}}{d t ^{3}} cos 2 ω t = 8 ω^{3} sin 2 ω t$ より $Q ..._{z z} = 16 q a^{2} ω^{3} sin 2 ω t, Q ..._{xx} = Q ..._{y y} = - 8 q a^{2} ω^{3} sin 2 ω t .$

【手順 4】 $\sum Q ..._{ij}^{2} = (256 + 64 + 64) q^{2} a^{4} ω^{6} sin^{2} 2 ω t = 384 q^{2} a^{4} ω^{6} sin^{2} 2 ω t$ 。時間平均は $⟨ sin^{2} 2 ω t ⟩ = \frac{1}{2}$ で $192 q^{2} a^{4} ω^{6}$ 。よって $⟨ P ⟩ = \frac{192 q ^{2} a ^{4} ω ^{6}}{720 π ε _{0} c ^{5}} = \frac{4 q ^{2} a ^{4} ω ^{6}}{15 π ε _{0} c ^{5}} .$ （振幅の式で検算: $Ω = 2 ω$ , $\sum (Q_{ij}^{(0)})^{2} = (4 + 1 + 1) q^{2} a^{4} = 6 q^{2} a^{4}$ より $\frac{64 ω ^{6} \cdot 6 q ^{2} a ^{4}}{1440 π ε _{0} c ^{5}} = \frac{4 q ^{2} a ^{4} ω ^{6}}{15 π ε _{0} c ^{5}}$ で一致。）

【手順 5】1 つの電荷だけが振動した場合の双極子放射 $\frac{q ^{2} a ^{2} ω ^{4}}{12 π ε _{0} c ^{3}}$ と比べると、比は $\frac{16}{5} (\frac{aω}{c})^{2}$ で、 $(k a)^{2}$ の程度になっている。

答え: $\frac{4 q ^{2} a ^{4} ω ^{6}}{15 π ε _{0} c ^{5}}$

よくある誤り

瞬間の値 $Q ..._{ij} (t)$ を入れる式と、単振動の振幅 $Q_{ij}^{(0)}$ で書いた時間平均の式を混同する誤り。瞬間の放射パワーは $P = \frac{1}{720 π ε _{0} c ^{5}} \sum Q ..._{ij}^{2}$ で、 $\frac{1}{1440 π ε _{0} c ^{5}}$ は $⟨ cos^{2} ⟩ = \frac{1}{2}$ を含めた振幅の式 $⟨ P ⟩ = \frac{Ω ^{6}}{1440 π ε _{0} c ^{5}} \sum (Q_{ij}^{(0)})^{2}$ の係数である。瞬間値を 1440 の式に入れてさらに時間平均をとると、答えが半分になってしまう。
放射の角振動数を電荷の振動の $ω$ としてしまう誤り。 $Q_{ij}$ は座標の 2 次式なので $cos^{2} ω t = \frac{1}{2} (1 + cos 2 ω t)$ となり、正しくは角振動数 $2 ω$ で放射する。例題で $Ω = ω$ とすると $\frac{d ^{3}}{d t ^{3}}$ の因子が $8^{2} = 64$ 倍小さく見積もられる。
$Q_{z z}$ だけを計算し、 $Q_{xx}, Q_{y y}$ を 0 としてしまう誤り。 $- r^{2} δ_{ij}$ の項があるので、 $z$ 軸上の電荷でも $Q_{xx} = Q_{y y} = - \sum q z^{2} \neq = 0$ 。正しくは $\sum Q ..._{ij}^{2}$ に対角 3 成分すべてを入れる（例題では $256 + 64 + 64$ ）。
四重極モーメントを $\sum q x_{i} x_{j}$ のまま使ってしまう誤り。公式の係数は $Q_{ij} = \sum q (3 x_{i} x_{j} - r^{2} δ_{ij})$ （対角和 0）に対するもので、 $\sum q x_{i} x_{j}$ を使うなら 3 倍し、対角和の部分を取り除いてから代入する。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

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