発展的な電磁気学（放射・相対論的電磁気学）

真空中の慣性系 $S$ において、一様な電場と磁場
$$\mathbf{E}=(0,E_0,0),\mathbf{B}=\left(0,0,\frac{E_0}{c}\right)$$
がある（$E_0>0$ は定数、$c$ は真空中の光速、SI 単位系）。系 $S$ に対して $x$ 軸の正の向きに速さ $v=\frac{3}{5}c$ で動く慣性系 $S^{\prime }$（座標軸はそれぞれ平行で、$x^{\prime }$ 軸は $x$ 軸と同じ向き）から見たとき、電場の $y^{\prime }$ 成分 $E_y^{\prime }$ を $E_0$ を用いて表せ。

ただし計量は ${\eta }_{\mu \nu }=\mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1)$、$x^{\mu }=(ct,x,y,z)$ とし、電磁場テンソルは $F^{\mu \nu }={\partial }^{\mu }{A}^{\nu }-{\partial }^{\nu }{A}^{\mu }$（$A^{\mu }=(\varphi /c,\mathbf{A})$）で定める。このとき $F^{0i}=-E^i/c$、$F^{12}=-B_z$ である。

真空中で、電気量 $q$ の点電荷が $x$ 軸上を一定の速度 $\mathbf{v}=(v,0,0)$、$v=\frac{3}{5}c$ で運動しており、時刻 $t$ における位置は $\mathbf{w}(t)=(vt,0,0)$ である（$c$ は真空中の光速）。

観測点 $\mathrm{P}(0,d,0)$（$d>0$）における時刻 $t=0$ のスカラーポテンシャル $\varphi$ を、リエナール・ヴィーヘルトのポテンシャル
$$\varphi (\mathbf{r},t)=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{1}{R(1-\mathbf{n}\cdot \mathbf{\beta })}{|}_{t_r}$$
を用いて、$q$, ${\epsilon }_0$, $d$ で表せ。ここで $t_r$ は遅延時刻 $c(t-t_r)=|\mathbf{r}-\mathbf{w}(t_r)|$ で定まり、$R=|\mathbf{r}-\mathbf{w}(t_r)|$、$\mathbf{n}=\frac{\mathbf{r}-\mathbf{w}(t_r)}{R}$、$\mathbf{\beta }=\frac{\mathbf{v}}{c}$ である。${\epsilon }_0$ は真空の誘電率で、SI 単位系を用いる。

真空中で、電気量 $q$ の点電荷について次の 2 つの運動を考える（$c$ は真空中の光速）。速さと加速度は、どちらも観測者の慣性系で測ったものとする（加速度は観測者の慣性系での速度の時間微分 $\frac{d\mathbf{v}}{dt}$ であり、固有加速度ではない）。

• 運動 A: 直線上を加速しており、ある瞬間の速さが $v=\frac{4}{5}c$、加速度の向きは速度と同じ向きで、その大きさが $a$ である。
• 運動 B: 一定の速さ $v=\frac{4}{5}c$ で等速円運動しており、加速度（向心加速度）の大きさが $a$ である。

全放射パワーはリエナールの公式
$$P=\frac{q^2{\gamma }^6}{6\pi {\epsilon }_{0}c}\left[{\dot{\mathbf{\beta }}}^2-(\mathbf{\beta }\times \dot{\mathbf{\beta }}{)}^2\right],\mathbf{\beta }=\frac{\mathbf{v}}{c},\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}}$$
で与えられる（${\epsilon }_0$ は真空の誘電率、ドットは観測者の慣性系での時間微分）。上の瞬間における運動 A の全放射パワー $P_{\mathrm{A}}$ と運動 B の全放射パワー $P_{\mathrm{B}}$ の比 $\frac{P_{\mathrm{A}}}{P_{\mathrm{B}}}$ を、既約分数で求めよ。

真空中で、質量 $m$、電気量 $-e$ の電子が、静止した原子核（電気量 $Ze$、$Z$ は正の整数）のそばを、衝突径数 $b$、速さ $v$（$v\ll c$）で通過する。電子の軌道のずれと速さの変化は小さいとして、電子は直線 $\mathbf{r}(t)=(vt,b,0)$（原子核は原点）に沿って一定の速さで運動するとみなす（直線軌道近似）。

このとき電子が受けるクーロン力による加速度を用いて、非相対論的なラーモアの公式
$$P=\frac{e^2{a}^2}{6\pi {\epsilon }_0{c}^3}$$
（$a$ は加速度の大きさ）を $t=-\infty$ から $t=\infty$ まで積分し、1 回の通過で電子が放射する全エネルギー $W$ を、$Z$, $e$, ${\epsilon }_0$, $c$, $m$, $b$, $v$ で表せ。ここで ${\epsilon }_0$ は真空の誘電率、$c$ は真空中の光速で、SI 単位系を用いる。また、必要なら ${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{dx}{(1+x^2{)}^2}=\frac{\pi }{2}$ を用いてよい。

真空中に、大きさ $m_0$ の一定の磁気双極子モーメント $\mathbf{m}(t)$ をもつ小さな磁石がある。磁石は $z$ 軸のまわりに一定の角速度 $\omega >0$ で回転しており、$\mathbf{m}$ は $z$ 軸と常に角 $\frac{\pi }{6}$ をなしたまま、$z$ 軸のまわりを角速度 $\omega$ で回る。すなわち
$$\mathbf{m}(t)=m_0\left(\sin \frac{\pi }{6}\cos \omega t,\sin \frac{\pi }{6}\sin \omega t,\cos \frac{\pi }{6}\right)$$
である。磁石の大きさは放射される電磁波の波長に比べて十分小さく、放射は磁気双極子放射だけを考えればよいとする。

磁気双極子モーメント $\mathbf{m}(t)$ の全放射パワーが
$$P=\frac{{\mu }_0|\ddot{\mathbf{m}}{|}^2}{6\pi c^3}$$
で与えられるとき、この磁石が放射する全パワー $P$ を、${\mu }_0$, $m_0$, $\omega$, $c$ で表せ。ただし ${\mu }_0$ は真空の透磁率、$c$ は真空中の光速で、SI 単位系を用いる。

偏光していない（無偏光の）電磁波が、静止した自由電子に入射してトムソン散乱される。電磁波の光子のエネルギーは電子の静止エネルギーに比べて十分小さく、散乱の微分断面積は
$$\frac{d\sigma }{d\Omega }=r_e^2\frac{1+{\cos }^2\theta }{2}$$
で与えられる。ここで $r_e$ は古典電子半径、$\theta$ は入射方向と散乱方向のなす角（散乱角）である。

散乱角が $0\le \theta \le \frac{\pi }{3}$ の範囲（前方の円錐の中）に散乱される断面積を ${\sigma }_{\mathrm{f}}$ とするとき、トムソン散乱の全断面積 ${\sigma }_T$ に対する比 $\frac{{\sigma }_{\mathrm{f}}}{{\sigma }_T}$ を既約分数で求めよ。

ある誘電体の比誘電率が、ローレンツ模型により
$$\epsilon (\omega )=1+\frac{{\omega }_p^2}{{\omega }_0^2-{\omega }^2-i\gamma \omega }$$
で与えられる。ここで $\omega$ は電磁波の角振動数、${\omega }_0$ は束縛電子の固有角振動数、$\gamma$ は減衰定数、${\omega }_p$ はプラズマ角振動数であり、時間依存性は $e^{-i\omega t}$ の流儀をとる。

ある正の定数 $\Omega$ を用いて ${\omega }_0=2\Omega$、$\gamma =\Omega$、${\omega }_p^2=5{\Omega }^2$ と表されるとき、角振動数 $\omega =\Omega$ での比誘電率の実部 $\mathrm{Re}\epsilon$ と虚部 $\mathrm{Im}\epsilon$ を、この順に組 $(\mathrm{Re}\epsilon ,\mathrm{Im}\epsilon )$ で求めよ。

内部が真空で、壁が完全導体の直方体の空洞共振器がある。辺の長さは $x$ 方向に $a=2L$、$y$ 方向に $b=L$、$z$ 方向に $d=L$（$L>0$）である。添字 $(m,n,p)$（いずれも $0$ 以上の整数）のモードの共振振動数は
$$f_{mnp}=\frac{c}{2}\sqrt{{\left(\frac{m}{a}\right)}^2+{\left(\frac{n}{b}\right)}^2+{\left(\frac{p}{d}\right)}^2}$$
で与えられる（$c$ は真空中の光速）。$z$ 方向を基準として、${\mathrm{TE}}_{mnp}$ モードは $p\ge 1$ かつ $m,n$ の少なくとも一方が $1$ 以上のとき、${\mathrm{TM}}_{mnp}$ モードは $m\ge 1$ かつ $n\ge 1$（$p\ge 0$）のときに存在する。

共振振動数が $\frac{c}{L}$ より小さいモードは全部でいくつあるか。ただし、TE モードと TM モードは別のモードとして数え、共振振動数が等しい（縮退した）モードもそれぞれ 1 つと数える。

真空中の慣性系 $S$ において、空間的に一様で時間変化しない電場と磁場
$$\mathbf{E}=\left(0,\frac{3}{5}c{B}_0,0\right),\mathbf{B}=(0,0,B_0)$$
がある（$B_0>0$ は定数、$c$ は真空中の光速、SI 単位系）。

この電磁場について、電場が $0$ になる慣性系 $S^{\prime }$ が存在する。電磁場の不変量 ${\mathbf{B}}^2-\frac{{\mathbf{E}}^2}{c^2}$ と $\mathbf{E}\cdot \mathbf{B}$ を用いて、系 $S^{\prime }$ における磁場の大きさ $|{\mathbf{B}}^{\prime }|$ を $B_0$ で表せ。

真空中で、電気量 $q$ の点電荷が $z$ 軸上を正の向きに運動しており、ある瞬間の速度は $\mathbf{v}=\beta c\hat{\mathbf{z}}$、$\beta =\frac{2}{3}$ で、加速度は速度と同じ向き（$\dot{\mathbf{\beta }}\parallel \mathbf{\beta }$、$\dot{\mathbf{\beta }}\ne 0$）である（$c$ は真空中の光速）。この瞬間に粒子が単位時間（粒子の時刻 $t^{\prime }$ あたり）に単位立体角へ放射するパワーは
$$\frac{dP}{d\Omega }=\frac{q^2}{16{\pi }^2{\epsilon }_{0}c}\frac{|\mathbf{n}\times ((\mathbf{n}-\mathbf{\beta })\times \dot{\mathbf{\beta }}){|}^2}{(1-\mathbf{n}\cdot \mathbf{\beta }{)}^5}$$
で与えられる。ここで $\mathbf{n}$ は放射の向きの単位ベクトル、${\epsilon }_0$ は真空の誘電率である。

$\mathbf{n}$ と $z$ 軸の正の向きとのなす角を $\theta$（$0\le \theta \le \pi$）とする。$\theta =\frac{\pi }{3}$ の向き（前方寄り）での $\frac{dP}{d\Omega }$ を $\theta =\frac{2\pi }{3}$ の向き（後方寄り）での $\frac{dP}{d\Omega }$ で割った比を、整数で求めよ。

電子が固有角振動数 ${\omega }_0$ の調和的な復元力で原子に束縛されているとみなすローレンツ模型を考える。減衰（放射減衰を含む）は無視する。この束縛電子に角振動数 $\omega$ の平面電磁波が入射するとき、全散乱断面積は
$$\sigma (\omega )={\sigma }_T\frac{{\omega }^4}{({\omega }_0^2-{\omega }^2{)}^2}$$
で与えられる。ここで ${\sigma }_T$ は自由電子のトムソン散乱の全断面積である。

入射波の角振動数が $\omega =\frac{{\omega }_0}{3}$ のとき、比 $\frac{\sigma }{{\sigma }_T}$ の値を既約分数で求めよ。

ある絶縁体（直流電気伝導度は $0$）の比誘電率を $\epsilon (\omega )={\epsilon }^{\prime }(\omega )+i{\epsilon }^{\prime \prime }(\omega )$（$\omega \ge 0$ は角振動数）とする。$\epsilon (\omega )$ は因果律を満たす応答関数で、複素 $\omega$ の上半面で正則であり、$|\omega |\to \infty$ で $\epsilon (\omega )\to 1$ となる。また ${\epsilon }^{\prime \prime }(\omega )$ は $\omega \to 0$ で $\omega$ に比例して $0$ に近づき、このとき実部はクラマース・クローニッヒの関係
$${\epsilon }^{\prime }(\omega )-1=\frac{2}{\pi }\mathrm{P}{\int }_0^{\infty }\frac{{\omega }^{\prime }{\epsilon }^{\prime \prime }({\omega }^{\prime })}{{\omega }^{\prime 2}-{\omega }^2}d{\omega }^{\prime }$$
を満たす（$\mathrm{P}$ は主値）。

この絶縁体の静的な比誘電率が ${\epsilon }^{\prime }(0)=5$ であるとき、積分
$${\int }_0^{\infty }\frac{{\epsilon }^{\prime \prime }(\omega )}{\omega }d\omega$$
の値を求めよ。

ローレンツ因子 $\gamma =1000$ の電子が、一様な磁場の中で半径 $\rho$ の円軌道を一定の速さで回っている。電子の速さは光速 $c$ にほぼ等しいとみなし（$\beta \approx 1$）、周回の角振動数を ${\omega }_0=\frac{c}{\rho }$ とする。

この電子が出すシンクロトロン放射の臨界振動数を ${\omega }_c=\frac{3}{2}{\gamma }^3\frac{c}{\rho }$ と定義するとき、比 $\frac{{\omega }_c}{{\omega }_0}$ の値を整数で求めよ。

内部が真空の矩形導波管を考える。断面は $0\le x\le a$, $0\le y\le b$ の長方形で、$a=2.00\mathrm{cm}$, $b=1.00\mathrm{cm}$ とする。管壁は完全導体で、管は $z$ 方向に無限に長いとする。真空中の光速を $c=3.00\times 10^{8}m/s$ とする。

この導波管に振動数 $f=31.5\mathrm{GHz}$ の電磁波を入れる。このとき減衰せずに $z$ 方向へ伝搬できるモードの数を求めよ。ただし、モードは ${\mathrm{TE}}_{mn}$ モードと ${\mathrm{TM}}_{mn}$ モード（$m,n$ は 0 以上の整数）として数える。同じ $(m,n)$ の TE モードと TM モードは別々に数え、遮断振動数がたまたま等しい異なるモードもそれぞれ 1 つと数える。

真空中の慣性系 $S$ に、一様で時間変化しない電場と磁場
$$\mathbf{E}=E_0(2,1,0),\mathbf{B}=\frac{E_0}{c}(1,0,1)$$
がある。$E_0>0$ は定数、$c$ は真空中の光速である。SI 単位系を用い、計量の符号は $(+,-,-,-)$ とする。

電磁場テンソル $F^{\mu \nu }$ からつくられるローレンツ不変量
$$F_{\mu \nu }{F}^{\mu \nu }=2\left({\mathbf{B}}^2-\frac{{\mathbf{E}}^2}{c^2}\right),F_{\mu \nu }{\tilde{F}}^{\mu \nu }=-\frac{4}{c}\mathbf{E}\cdot \mathbf{B}$$
（${\tilde{F}}^{\mu \nu }=\frac{1}{2}{\epsilon }^{\mu \nu \rho \sigma }{F}_{\rho \sigma }$）を用いてよい。

$S$ に対して一定の速度で運動する慣性系 $S^{\prime }$ のうち、$S^{\prime }$ での電場 ${\mathbf{E}}^{\prime }$ と磁場 ${\mathbf{B}}^{\prime }$ が互いに平行（同じ向き）になるものを考える。$S^{\prime }$ における電場の大きさ $|{\mathbf{E}}^{\prime }|$ を $E_0$ を用いて表せ。

電子（質量 $m$、電荷 $-e$）が、ローレンツ模型にしたがって原子に束縛されているとする。すなわち電子は復元力 $-m{\omega }_0^2\mathbf{x}$ を受け、固有角振動数 ${\omega }_0$ で振動できる。減衰と放射反作用は無視する。電子の運動は非相対論的で、双極子近似が成り立つものとし、入射波の磁場による力も無視する。SI 単位系を用い、古典電子半径を $r_e=\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_{0}m{c}^2}$ とする。また、自由電子のトムソン散乱の全断面積を ${\sigma }_T=\frac{8\pi }{3}{r}_e^2$ とする。${\sigma }_T$ は ${\omega }_0$ や $\omega$ によらない定数であり、この束縛電子の全散乱断面積ではないことに注意せよ。

この電子に、角振動数 $\omega =\frac{{\omega }_0}{2}$ の偏光していない（無偏光の）単色平面電磁波が入射する。散乱角 $\theta$ を、入射波の進行方向と散乱波の進行方向のなす角とする。散乱角が $0\le \theta \le \frac{\pi }{3}$ の範囲に散乱される断面積を ${\sigma }_{\mathrm{cone}}$ とするとき、比 $\frac{{\sigma }_{\mathrm{cone}}}{{\sigma }_T}$ を既約分数で答えよ。

等方的な誘電体の比誘電率が、ローレンツ模型により次の式で与えられるとする（時間依存は $e^{-i\omega t}$ とする）。
$$\epsilon (\omega )=1+\frac{{\omega }_p^2}{{\omega }_0^2-{\omega }^2-i\gamma \omega }$$
ここで ${\omega }_p>0$, ${\omega }_0>0$, $\gamma >0$ は定数、$\omega$ は実数の角周波数である。$\epsilon (\omega )={\epsilon }^{\prime }(\omega )+i{\epsilon }^{\prime \prime }(\omega )$（${\epsilon }^{\prime },{\epsilon }^{\prime \prime }$ は実数）と書くとき、積分
$$I={\int }_0^{\infty }\frac{{\epsilon }^{\prime \prime }(\omega )}{\omega }d\omega$$
を ${\omega }_p,{\omega }_0,\gamma$ のうち必要なものを用いて表せ。

真空中で、電荷 $q$ の点電荷が $x$ 軸上を直線運動している。ある時刻 $t^{\prime }$（粒子の時刻、すなわち遅延時刻）において、粒子の速さは $v=\frac{c}{2}$（$c$ は真空中の光速）であり、加速度の大きさは $a(>0)$ で、その向きは速度と同じ向きである。真空の誘電率を ${\epsilon }_0$ とし、SI 単位系を用いる。

リエナール・ヴィーヘルトのポテンシャルから得られる放射場（距離 $R$ に反比例する部分）を用いて、粒子が時刻 $t^{\prime }$ から $t^{\prime }+d{t}^{\prime }$ の間（$d{t}^{\prime }$ は微小）に放出する放射エネルギーを考える。このエネルギーは粒子から十分遠い球面を通って外へ流れ出る。そのうち、放射の向きを表す単位ベクトル $\mathbf{n}$ と粒子の速度とのなす角 $\theta$ が $0\le \theta <\frac{\pi }{2}$ を満たす向き（前方半球）へ放出される割合を求めよ。答えは既約分数で答えよ。

内部が真空の直方体空洞共振器を考える。内寸は $x$ 方向 $L$、$y$ 方向 $L$、$z$ 方向 $2L$ で、壁はすべて完全導体とする。真空中の光速を $c$ とする。

この空洞内の電磁場の固有モード（互いに線形独立な定在波解。同じ共振振動数をもつ縮退したモードも別々に数える）のうち、共振振動数 $f$ が
$$f<\frac{11c}{8L}$$
を満たすものはいくつあるか。整数で答えよ。

真空中の慣性系 $S$ に一様で静的な電磁場があり、デカルト座標で
$$\mathbf{E}=E_0(2,1,0),\mathbf{B}=\frac{E_0}{c}(1,0,1)$$
と表される（SI 単位系、$E_0>0$ は定数、$c$ は真空中の光速）。

慣性系 $S^{\prime }$ は、$S$ に対して $\mathbf{E}\times \mathbf{B}$ と同じ向きに一定の速さ $v$（$0<v<c$）で動いている。$S$ と $S^{\prime }$ の空間座標軸は、ローレンツ・ブースト（回転を含まない）で結ばれているものとする。$S^{\prime }$ で観測される電場 ${\mathbf{E}}^{\prime }$ と磁束密度 ${\mathbf{B}}^{\prime }$ が平行になるとき、
$$\left(\frac{v}{c},\frac{|{\mathbf{E}}^{\prime }|}{E_0},\frac{c|{\mathbf{B}}^{\prime }|}{E_0}\right)$$
をこの順の組で、正確な値（根号を含んでよい）で求めよ。