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発展的な電磁気学（放射・相対論的電磁気学）の問題

難易度 2大学院の講義の演習問題レベル大学院物理発展的な電磁気学（放射・相対論的電磁気学）

真空中の慣性系 $S$ に、一様で時間変化しない電場と磁場
$E = E_{0} (2, 1, 0), B = \frac{E _{0}}{c} (1, 0, 1)$
がある。 $E_{0} > 0$ は定数、 $c$ は真空中の光速である。SI 単位系を用い、計量の符号は $(+, -, -, -)$ とする。

電磁場テンソル $F^{μν}$ からつくられるローレンツ不変量
$F_{μν} F^{μν} = 2 (B^{2} - \frac{E ^{2}}{c ^{2}}), F_{μν} F ~^{μν} = - \frac{4}{c} E \cdot B$
（ $F ~^{μν} = \frac{1}{2} ε^{μν ρ σ} F_{ρ σ}$ ）を用いてよい。

$S$ に対して一定の速度で運動する慣性系 $S^{'}$ のうち、 $S^{'}$ での電場 $E^{'}$ と磁場 $B^{'}$ が互いに平行（同じ向き）になるものを考える。 $S^{'}$ における電場の大きさ $∣ E^{'} ∣$ を $E_{0}$ を用いて表せ。

この問題で使うもの

電磁場の不変量と特別な慣性系（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（127 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$E^{2} - c^{2} B^{2}$ と $E \cdot B$ はローレンツ変換で変わりません。 $S$ で値を計算し、 $S^{'}$ での式と等しいとおきましょう。

ヒント 2

$S^{'}$ では $E^{'} ∥ B^{'}$ なので $E^{'} \cdot B^{'} = ∣ E^{'} ∣∣ B^{'} ∣$ です。 $x = ∣ E^{'} ∣^{2}$ 、 $y = c^{2} ∣ B^{'} ∣^{2}$ とおくと、2 つの関係式ができます。

ヒント 3

$S$ での値は $E^{2} - c^{2} B^{2} = 3 E_{0}^{2}$ 、 $c E \cdot B = 2 E_{0}^{2}$ です。これから $x - y = 3 E_{0}^{2}$ 、 $x y = 4 E_{0}^{4}$ となるので、 $x$ についての 2 次方程式を解きましょう。

答えと解説

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2 E_{0}

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解説を読む

不変量の値

$F_{μν} F^{μν}$ と $F_{μν} F ~^{μν}$ はローレンツスカラーなので、
$I_{1} \equiv E^{2} - c^{2} B^{2}, I_{2} \equiv c E \cdot B$
はどの慣性系でも同じ値をとる。 $S$ で計算すると
$E^{2} = E_{0}^{2} (4 + 1 + 0) = 5 E_{0}^{2}, c^{2} B^{2} = E_{0}^{2} (1 + 0 + 1) = 2 E_{0}^{2},$
$c E \cdot B = E_{0}^{2} (2 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1) = 2 E_{0}^{2} .$
よって $I_{1} = 3 E_{0}^{2}$ 、 $I_{2} = 2 E_{0}^{2}$ である。

$S^{'}$ での条件

$S^{'}$ では $E^{'}$ と $B^{'}$ が同じ向きなので $E^{'} \cdot B^{'} = ∣ E^{'} ∣∣ B^{'} ∣$ である。 $x = ∣ E^{'} ∣^{2}$ 、 $y = c^{2} ∣ B^{'} ∣^{2}$ とおくと、不変性から
$x - y = 3 E_{0}^{2}, x y = 2 E_{0}^{2} \Rightarrow x y = 4 E_{0}^{4} .$
$y = x - 3 E_{0}^{2}$ を代入すると
$x^{2} - 3 E_{0}^{2} x - 4 E_{0}^{4} = 0 \Rightarrow (x - 4 E_{0}^{2}) (x + E_{0}^{2}) = 0.$
$x \geq 0$ より $x = 4 E_{0}^{2}$ となる。このとき $y = E_{0}^{2}$ であり、 $∣ B^{'} ∣ = E_{0} / c$ である。

したがって $∣ E^{'} ∣ = 2 E_{0}$ である。

$S^{'}$ が実在することの確認

$S^{'}$ は $E \times B$ 方向に速さ $β c$ で動く系としてとれる。 $β$ は
$\frac{β}{1 + β ^{2}} = \frac{∣ E \times c B ∣}{E ^{2} + c ^{2} B ^{2}}$
で決まる。ここで $E \times c B = E_{0}^{2} (1, - 2, - 1)$ なので、その大きさは $6 E_{0}^{2}$ である。よって
$\frac{β}{1 + β ^{2}} = \frac{6}{7} \Rightarrow 6 β^{2} - 7 β + 6 = 0.$
$β < 1$ となる解は $β = \frac{7 - 5}{2 6} = \frac{1}{6}$ であり、確かにそのような系が存在する。

別解

ローレンツ不変量を計算する。 $E^{2} = 5 E_{0}^{2}$ 、 $B^{2} = 2 E_{0}^{2} / c^{2}$ 、 $E \cdot B = 2 E_{0}^{2} / c$ である。よって $c^{2} B^{2} - E^{2} = - 3 E_{0}^{2}$ 、 $c E \cdot B = 2 E_{0}^{2}$ となる。

$S^{'}$ で $E^{'}$ と $B^{'}$ が同じ向きに平行なら、 $E^{'} \cdot B^{'} = E^{'} B^{'} > 0$ である。 $e = ∣ E^{'} ∣$ 、 $b = c ∣ B^{'} ∣$ とおくと、不変量の保存から
$b^{2} - e^{2} = - 3 E_{0}^{2}$ 、 $b e = 2 E_{0}^{2}$
が成り立つ。

$b = 2 E_{0}^{2} / e$ を代入すると $e^{4} - 3 E_{0}^{2} e^{2} - 4 E_{0}^{4} = 0$ 、すなわち $(e^{2} - 4 E_{0}^{2}) (e^{2} + E_{0}^{2}) = 0$ となる。 $e > 0$ より $e = 2 E_{0}$ である。このとき $b = E_{0}$ 、すなわち $∣ B^{'} ∣ = E_{0} / c$ である。

検算: $b^{2} - e^{2} = E_{0}^{2} - 4 E_{0}^{2} = - 3 E_{0}^{2}$ 、 $b e = 2 E_{0}^{2}$ となり、両方の不変量が保存されている。

$E \cdot B \neq = 0$ なので、 $E \times B$ 方向へのブーストで平行な場にできる。したがって $∣ E^{'} ∣ = 2 E_{0}$ である。

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