発展的な電磁気学（放射・相対論的電磁気学）の問題

以下、$\mathbf{b}\equiv c\mathbf{B}$（電場と同じ次元）、$\mathbf{\beta }=\mathbf{v}/c$、$\gamma =1/\sqrt{1-{\beta }^2}$ と書く。$E_0$ を単位にとると $\mathbf{E}=(2,1,0)$, $\mathbf{b}=(1,0,1)$ である。

1. 準備
$$\mathbf{S}\equiv \mathbf{E}\times \mathbf{b}=(1\cdot 1-0\cdot 0,0\cdot 1-2\cdot 1,2\cdot 0-1\cdot 1)=(1,-2,-1),|\mathbf{S}|=\sqrt{6},$$
$$E^2=5,b^2=2,\mathbf{E}\cdot \mathbf{b}=2.$$
ブーストは $\hat{\mathbf{n}}=\mathbf{S}/|\mathbf{S}|$ の向きで、$\mathbf{\beta }=\beta \hat{\mathbf{n}}$ $(0<\beta <1)$。$\mathbf{S}$ は $\mathbf{E}$ にも $\mathbf{b}$ にも垂直なので、場はすべてブーストに垂直な成分であり、場のローレンツ変換は
$${\mathbf{E}}^{\prime }=\gamma (\mathbf{E}+\mathbf{\beta }\times \mathbf{b}),{\mathbf{b}}^{\prime }=\gamma (\mathbf{b}-\mathbf{\beta }\times \mathbf{E})$$
となる（これは $F^{\mu \nu }$ が 2 階反変テンソルとして変換することから従う）。

2. 平行条件から $\beta$ を決める
$$\frac{{\mathbf{E}}^{\prime }\times {\mathbf{b}}^{\prime }}{{\gamma }^2}=\mathbf{E}\times \mathbf{b}-\mathbf{E}\times (\mathbf{\beta }\times \mathbf{E})+(\mathbf{\beta }\times \mathbf{b})\times \mathbf{b}-(\mathbf{\beta }\times \mathbf{b})\times (\mathbf{\beta }\times \mathbf{E}).$$
$\mathbf{\beta }\perp \mathbf{E},\mathbf{b}$ を使うと
- $\mathbf{E}\times (\mathbf{\beta }\times \mathbf{E})=\mathbf{\beta }{E}^2-\mathbf{E}(\mathbf{E}\cdot \mathbf{\beta })=\mathbf{\beta }{E}^2$
- $(\mathbf{\beta }\times \mathbf{b})\times \mathbf{b}=\mathbf{b}(\mathbf{\beta }\cdot \mathbf{b})-\mathbf{\beta }{b}^2=-\mathbf{\beta }{b}^2$
- $(\mathbf{\beta }\times \mathbf{b})\times (\mathbf{\beta }\times \mathbf{E})=[\mathbf{\beta }\cdot (\mathbf{b}\times \mathbf{E})]\mathbf{\beta }=-(\mathbf{\beta }\cdot \mathbf{S})\mathbf{\beta }=-{\beta }^2|\mathbf{S}|\hat{\mathbf{n}}$

よって
$$\frac{{\mathbf{E}}^{\prime }\times {\mathbf{b}}^{\prime }}{{\gamma }^2}=\hat{\mathbf{n}}\left[|\mathbf{S}|(1+{\beta }^2)-\beta (E^2+b^2)\right].$$
平行条件 ${\mathbf{E}}^{\prime }\times {\mathbf{b}}^{\prime }=0$ より
$$\frac{\beta }{1+{\beta }^2}=\frac{|\mathbf{S}|}{E^2+b^2}=\frac{\sqrt{6}}{7}⟹\sqrt{6}{\beta }^2-7\beta +\sqrt{6}=0,$$
$$\beta =\frac{7\pm \sqrt{49-24}}{2\sqrt{6}}=\frac{7\pm 5}{2\sqrt{6}}.$$
$\beta <1$ より $\beta =\frac{1}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{6}$（もう一つの根 $\sqrt{6}$ は光速を超えるので不適）。

3. 不変量から $|{\mathbf{E}}^{\prime }|,|{\mathbf{b}}^{\prime }|$ を求める
$F_{\mu \nu }{F}^{\mu \nu }\propto b^2-E^2$ と $F_{\mu \nu }{\tilde{F}}^{\mu \nu }\propto \mathbf{E}\cdot \mathbf{b}$ はローレンツ不変なので
$$E^{\prime 2}-b^{\prime 2}=E^2-b^2=3,{\mathbf{E}}^{\prime }\cdot {\mathbf{b}}^{\prime }=\mathbf{E}\cdot \mathbf{b}=2>0.$$
${\mathbf{E}}^{\prime }\parallel {\mathbf{b}}^{\prime }$ で内積が正なので同じ向きであり、$|{\mathbf{E}}^{\prime }||{\mathbf{b}}^{\prime }|=2$。$x=|{\mathbf{E}}^{\prime }|$ とおくと $x^2-4/x^2=3$、すなわち $x^4-3x^2-4=(x^2-4)(x^2+1)=0$ より $x^2=4$。よって $|{\mathbf{E}}^{\prime }|=2$、$|{\mathbf{b}}^{\prime }|=1$。

4. 検算（直接変換）
$\mathbf{\beta }=\frac{1}{6}(1,-2,-1)$、$\gamma =\sqrt{6/5}$。$\mathbf{\beta }\times \mathbf{b}=\frac{1}{6}(-2,-2,2)$ より ${\mathbf{E}}^{\prime }=\gamma \left(\frac{5}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{3}\right)$、$|{\mathbf{E}}^{\prime }{|}^2=\frac{6}{5}\cdot \frac{30}{9}=4$。$\mathbf{\beta }\times \mathbf{E}=\frac{1}{6}(1,-2,5)$ より ${\mathbf{b}}^{\prime }=\gamma \cdot \frac{1}{6}(5,2,1)$、$|{\mathbf{b}}^{\prime }{|}^2=\frac{6}{5}\cdot \frac{30}{36}=1$。両者とも $(5,2,1)$ に平行で、結果は一致する。

単位を戻すと $v/c=\sqrt{6}/6$、$|{\mathbf{E}}^{\prime }|=2E_0$、$|{\mathbf{B}}^{\prime }|=E_0/c$。答えは $\left(\frac{\sqrt{6}}{6},2,1\right)$。

$c=1$、$E_0=1$ とおいて計算する（最後に元へ戻す）。$\mathbf{E}=(2,1,0)$、$\mathbf{B}=(1,0,1)$ である。

不変量。 $\mathbf{E}\cdot \mathbf{B}=2$、$E^2-B^2=5-2=3$ である。${\mathbf{E}}^{\prime }\parallel {\mathbf{B}}^{\prime }$ となる系では $E^{\prime }{B}^{\prime }=2$、$E^{\prime 2}-B^{\prime 2}=3$ が成り立つ。これより $E^{\prime 2}=\frac{3+\sqrt{9+16}}{2}=4$ なので $E^{\prime }=2$、$B^{\prime }=1$ と求まる。

速度。 $\mathbf{E}\times \mathbf{B}=(1,-2,-1)$ であり、$|\mathbf{E}\times \mathbf{B}|=\sqrt{6}$ である。$\mathbf{E}\times \mathbf{B}$ 方向のブーストで ${\mathbf{E}}^{\prime }\parallel {\mathbf{B}}^{\prime }$ になる条件は $\frac{v}{1+v^2}=\frac{|\mathbf{E}\times \mathbf{B}|}{E^2+B^2}=\frac{\sqrt{6}}{7}$ である。これを整理すると $\sqrt{6}{v}^2-7v+\sqrt{6}=0$ となり、$v<1$ の解は $v=\frac{7-5}{2\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{6}}$ である。

検算。 $\mathbf{n}=(1,-2,-1)/\sqrt{6}$ とおくと、$\mathbf{E}\cdot \mathbf{n}=0$、$\mathbf{B}\cdot \mathbf{n}=0$ なので、両方の場は $\mathbf{v}$ に垂直である。$\gamma =\sqrt{6/5}$ を使うと次のようになる。
- ${\mathbf{E}}^{\prime }=\gamma (\mathbf{E}+\mathbf{v}\times \mathbf{B})=\gamma \left(\frac{5}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{3}\right)=\frac{\gamma }{3}(5,2,1)$
- ${\mathbf{B}}^{\prime }=\gamma (\mathbf{B}-\mathbf{v}\times \mathbf{E})=\frac{\gamma }{6}(5,2,1)$

両者は平行である。大きさは $|{\mathbf{E}}^{\prime }|=\frac{\gamma \sqrt{30}}{3}=2$、$|{\mathbf{B}}^{\prime }|=\frac{\gamma \sqrt{30}}{6}=1$ となり、不変量から求めた値と一致する。

よって $(v/c,|{\mathbf{E}}^{\prime }|/E_0,c|{\mathbf{B}}^{\prime }|/E_0)=\left(\frac{1}{\sqrt{6}},2,1\right)$ である。