電磁場テンソルと場のローレンツ変換

電磁場テンソル $F^{μν}$ の成分を $E, B$ で書き、ブーストした系での場 $E_{∥}^{'} = E_{∥}$ , $E_{⊥}^{'} = γ (E + v \times B)_{⊥}$ などの成分を求められる

前提

ローレンツ変換（大学物理特殊相対論）
マクスウェル方程式の微分形（大学物理電磁波と電磁場）

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算数中学高校大学大学院

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マクスウェル方程式の微分形（大学物理電磁波と電磁場）

説明

電場 $E$ と磁場 $B$ は、別々の 3 次元ベクトルではなく、1 つの 4 行 4 列の反対称な量（電磁場テンソル） $F^{μν}$ の成分にまとめられます。これを使うと、ある慣性系での場から、それに対して速度 $v$ で動く慣性系での場を、ローレンツ変換の行列を 2 回掛けるだけで機械的に求められます。結果は、ブーストの向きに平行な成分は変わらず（ $E_{∥}^{'} = E_{∥}$ , $B_{∥}^{'} = B_{∥}$ ）、垂直な成分は $E_{⊥}^{'} = γ (E + v \times B)_{⊥}$ , $B_{⊥}^{'} = γ (B - \frac{v \times E}{c ^{2}})_{⊥}$ となります。動く電荷のつくる場、ある系では磁場だけに見える場が別の系では電場をもつこと、 $E \times B$ ドリフトの速度などを求めるときに使います。

なぜそうしてよいのか

【記号の準備】ここでは SI 単位系、計量の符号 $(+, -, -, -)$ を使い、座標を $x^{μ} = (x^{0}, x^{1}, x^{2}, x^{3}) = (c t, x, y, z)$ と並べます。 $x$ 方向に速さ $v$ で動く系 S' へのローレンツ変換は、 $β = v / c$ 、 $γ = 1/ 1 - β^{2}$ として $x^{' μ} = \sum_{α} Λ^{μ}_{α} x^{α}$ 、 $Λ = γ - γ β 00 - γ β γ 00 00100001$ と書けます（第 1・2 行が $c t^{'} = γ (c t - β x)$ , $x^{'} = γ (x - β c t)$ ）。粒子の 4 元速度は $u^{μ} = γ_{u} (c, u)$ （ $γ_{u} = 1/ 1 - u^{2} / c^{2}$ ）、空間成分の符号を反転したものを $u_{μ} = γ_{u} (c, - u)$ と書きます。

【なぜ $E, B$ が 1 つのテンソルになるか】電磁場テンソルを $F^{μν} = 0 E_{x} / c E_{y} / c E_{z} / c - E_{x} / c 0 B_{z} - B_{y} - E_{y} / c - B_{z} 0 B_{x} - E_{z} / c B_{y} - B_{x} 0$ と定めます（ $F^{ν μ} = - F^{μν}$ ）。すると $\sum_{ν} q F^{i ν} u_{ν} = q γ_{u} (E + u \times B)_{i}$ 、 $\sum_{ν} q F^{0 ν} u_{ν} = q γ_{u} E \cdot u / c$ となり、ローレンツ力とそれがする仕事率が 1 つの式 $\frac{d p ^{μ}}{d τ} = q \sum_{ν} F^{μν} u_{ν}$ （ $τ$ は固有時間、 $p^{μ} = m u^{μ}$ ）にまとまります。この運動法則がどの慣性系でも同じ形であるためには、 $p^{μ}$ や $u^{μ}$ と同じく、 $F^{μν}$ の 2 つの添字がそれぞれ座標と同じように変換されなければなりません。つまり $F^{' μν} = α, β \sum Λ^{μ}_{α} Λ^{ν}_{β} F^{α β} (行列では F^{'} = Λ F Λ^{T})$ です。

【成分を計算すると】 $x$ 方向のブーストでは、 $F^{' 01} = γ^{2} (F^{01} - β^{2} F^{01}) = F^{01}$ なので $E_{x}^{'} = E_{x}$ 。 $F^{' 02} = γ F^{02} - γ β F^{12}$ から $- E_{y}^{'} / c = - γ E_{y} / c + γ β B_{z}$ 、すなわち $E_{y}^{'} = γ (E_{y} - v B_{z})$ 。同様に $E_{z}^{'} = γ (E_{z} + v B_{y})$ 、 $B_{x}^{'} = B_{x}$ 、 $B_{y}^{'} = γ (B_{y} + v E_{z} / c^{2})$ 、 $B_{z}^{'} = γ (B_{z} - v E_{y} / c^{2})$ が得られます。 $v = v x^$ では $v \times B = v (0, - B_{z}, B_{y})$ なので、これらはまとめて $E_{⊥}^{'} = γ (E + v \times B)_{⊥}$ , $B_{⊥}^{'} = γ (B - v \times E / c^{2})_{⊥}$ と書けます。動く観測者には、元の系の磁場が $v \times B$ という電場として見える、という直観どおりです。

手順

単位系（SI）と計量の符号 $(+, -, -, -)$ 、座標 $x^{μ} = (c t, x, y, z)$ を確認し、ブーストの向きを座標軸（例えば $x$ 軸）にとって $β = v / c$ , $γ = 1/ 1 - β^{2}$ を書く。
元の系の $E, B$ から $F^{μν}$ の成分を書く： $F^{0 i} = - E_{i} / c$ , $F^{12} = - B_{z}$ , $F^{13} = B_{y}$ , $F^{23} = - B_{x}$ （残りは反対称性から）。
$F^{' μν} = \sum Λ^{μ}_{α} Λ^{ν}_{β} F^{α β}$ で必要な成分を計算する。 $x$ 方向のブーストでは $F^{' 02} = γ (F^{02} - β F^{12})$ のように、添字 0, 1 が混ざる成分だけが変わる。
成分を $E^{'}, B^{'}$ に読み戻す。まとめた形 $E_{∥}^{'} = E_{∥}$ , $E_{⊥}^{'} = γ (E + v \times B)_{⊥}$ , $B_{∥}^{'} = B_{∥}$ , $B_{⊥}^{'} = γ (B - v \times E / c^{2})_{⊥}$ を直接使ってもよい。
検算として、どの系でも同じ値をとる $E^{2} - c^{2} B^{2}$ と $E \cdot B$ が変わっていないことを確かめる。

例題

SI 単位系で考える（真空中の光速を $c$ とする）。慣性系 S で一様な電場 $E = (0, E_{0}, 0)$ と一様な磁場 $B = (0, 0, B_{0})$ がある。S に対して $x$ 軸の正の向きに速さ $v$ （ $0 < v < c$ ）で動く慣性系 S'（座標軸は S と平行）で観測した電場の $y$ 成分 $E_{y}^{'}$ と磁場の $z$ 成分 $B_{z}^{'}$ を、 $E_{0}, B_{0}, v, c$ を用いて順に求めよ。

例題の解答

【手順 1】ブーストは $x$ 方向、 $β = v / c$ 、 $γ = \frac{1}{1 - v ^{2} / c ^{2}}$ 。

【手順 2】S での成分は $F^{02} = - E_{0} / c$ 、 $F^{12} = - B_{0}$ で、そのほかの独立な成分（ $F^{01}, F^{03}, F^{13}, F^{23}$ ）は 0。

【手順 3】 $Λ^{0}_{0} = γ$ , $Λ^{0}_{1} = - γ β$ , $Λ^{2}_{2} = 1$ より $F^{' 02} = γ F^{02} - γ β F^{12} = - \frac{γ E _{0}}{c} + γ β B_{0} .$ また $Λ^{1}_{0} = - γ β$ , $Λ^{1}_{1} = γ$ より $F^{' 12} = - γ β F^{02} + γ F^{12} = \frac{γ β E _{0}}{c} - γ B_{0} .$

【手順 4】 $E_{y}^{'} = - c F^{' 02} = γ (E_{0} - v B_{0})$ 、 $B_{z}^{'} = - F^{' 12} = γ (B_{0} - \frac{v E _{0}}{c ^{2}})$ 。まとめた形でも、 $v \times B = v x^\times B_{0} z^= - v B_{0} y^$ 、 $v \times E = v E_{0} z^$ から同じ結果になる。

【手順 5】検算: $E^{'2} - c^{2} B^{'2} = γ^{2} [(E_{0} - v B_{0})^{2} - c^{2} (B_{0} - \frac{v E _{0}}{c ^{2}})^{2}] = γ^{2} (1 - \frac{v ^{2}}{c ^{2}}) (E_{0}^{2} - c^{2} B_{0}^{2}) = E_{0}^{2} - c^{2} B_{0}^{2}$ で不変。よって $E_{y}^{'} = \frac{E _{0} - v B _{0}}{1 - v ^{2} / c ^{2}}, B_{z}^{'} = \frac{B _{0} - v E _{0} / c ^{2}}{1 - v ^{2} / c ^{2}} .$ （特に $E_{0} < c B_{0}$ のとき、 $v = E_{0} / B_{0}$ の系では電場が消える。）

答え: $(\frac{E _{0} - v B _{0}}{1 - v ^{2} / c ^{2}}, \frac{B _{0} - v E _{0} / c ^{2}}{1 - v ^{2} / c ^{2}})$

よくある誤り

ブーストに平行な成分にも $γ$ を掛けて $E_{x}^{'} = γ E_{x}$ としてしまう誤り。 $F^{' 01} = γ^{2} (1 - β^{2}) F^{01} = F^{01}$ なので、正しくは $E_{x}^{'} = E_{x}$ , $B_{x}^{'} = B_{x}$ （長さの収縮と違い、平行成分は変わらない）。
ローレンツ変換の行列を片方の添字にしか掛けず $F^{'} = Λ F$ としてしまう誤り。 $F^{μν}$ は 2 つの添字をもつので、正しくは $F^{'} = Λ F Λ^{T}$ （ $F^{' μν} = \sum Λ^{μ}_{α} Λ^{ν}_{β} F^{α β}$ ）。片方だけでは結果が反対称にならないことで気づける。
$v \times B$ の符号や向きを取り違え、 $E = E_{0} y^$ , $B = B_{0} z^$ , $v = v x^$ で $E_{y}^{'} = γ (E_{0} + v B_{0})$ としてしまう誤り。 $x^\times z^= - y^$ なので、正しくは $E_{y}^{'} = γ (E_{0} - v B_{0})$ 。ここで $v$ は新しい系 S' が元の系 S に対して動く速度である。
磁場の変換で $c^{2}$ を落として $B_{⊥}^{'} = γ (B - v \times E)_{⊥}$ としてしまう誤り。SI 単位では $E$ と $c B$ が同じ次元なので、正しくは $B_{⊥}^{'} = γ (B - \frac{v \times E}{c ^{2}})_{⊥}$ 。不変量 $E^{2} - c^{2} B^{2}$ が保たれるかで確かめられる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
真空中の慣性系 $S$ において、一様な電場と磁場
$E = (0, E_{0}, 0), B = (0, 0, \frac{E _{0}}{c})$
がある（ $E_{0} > 0$ は定数、 $c$ は真空中の光速、SI 単位系）。系 $S$ に対して $x$ 軸の正の向きに速さ $v = \frac{3}{5} c$ で動く慣性系 $S^{'}$ （座標軸はそれぞれ平行で、 $x^{'}$ 軸は $x$ 軸と同じ向き）から見たとき、電場の $y^{'}$ 成分 $E_{y}^{'}$ を $E_{0}$ を用いて表せ。
ただし計量は $η_{μν} = diag (+ 1, - 1, - 1, - 1)$ 、 $x^{μ} = (c t, x, y, z)$ とし、電磁場テンソルは $F^{μν} = \partial^{μ} A^{ν} - \partial^{ν} A^{μ}$ （ $A^{μ} = (ϕ / c, A)$ ）で定める。このとき $F^{0 i} = - E^{i} / c$ 、 $F^{12} = - B_{z}$ である。

この技能を使う問題

難易度 3（大学院入試の専門科目の標準レベル）
真空中の慣性系 $S$ に一様で静的な電磁場があり、デカルト座標で
$E = E_{0} (2, 1, 0), B = \frac{E _{0}}{c} (1, 0, 1)$
と表される（SI 単位系、 $E_{0} > 0$ は定数、 $c$ は真空中の光速）。
慣性系 $S^{'}$ は、 $S$ に対して $E \times B$ と同じ向きに一定の速さ $v$ （ $0 < v < c$ ）で動いている。 $S$ と $S^{'}$ の空間座標軸は、ローレンツ・ブースト（回転を含まない）で結ばれているものとする。 $S^{'}$ で観測される電場 $E^{'}$ と磁束密度 $B^{'}$ が平行になるとき、
$(\frac{v}{c}, \frac{∣ E ^{'} ∣}{E _{0}}, \frac{c ∣ B ^{'} ∣}{E _{0}})$
をこの順の組で、正確な値（根号を含んでよい）で求めよ。

この技能の次に学べること

電磁場の不変量と特別な慣性系（大学院物理発展的な電磁気学（放射・相対論的電磁気学））